题目列表(包括答案和解析)
已知数列
的前
项和为
，且
，数列
中，
，
．(
)
(1)求数列,的通项
和
(2) 设
，求数列
的前n项和
.
(3) 设
,若对于一切,有
恒成立,求
的取值范围
已知数列
的前
项和为
，
，且
．
（1）计算
；
（2）猜想的表达式，并证明．
（本题满分14分）已知数列
的前
项和为
，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列
的前项和为
，求数列
的通项公式．
已知数列
的前
项和为
，
（1）求
；
（2）求知数列的通项公式。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
ACDDB CDC
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）62 （10）2 （11）
（12）2，
（13）
（14）
，③④
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
(15)（本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵
（
），
∴
（）.
………………………1分
∵
，
，
成等差数列，
∴
.
…………………………3分
∴
.
………………………………………5分
∴
.
………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
（）.
∴数列
为首项是
，公差为1的等差数列. ………………………8分
∴
.
∴
.
……………………………………10分
当
时，
. ………………………12分
当
时，上式也成立.
……………………13分
∴
（）.
（16）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为
.……………2分
该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为
.
…………………………4分
设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则 …………………………………5分
.
…………………………………6分
答：估计该间教室的空气质量合格的概率为
.
（Ⅱ）由题意可知，
的取值为0，1，2，3，4.
………………7分
.
随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
……………………………12分
解法一：
∴
. ………………13分
解法二：
，
∴
.
………………13分
（17）（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：设
的中点为
.
在斜三棱柱
中，点
在底面
上的射影恰好是的中点,
平面ABC.
……………………1分
平面，
.
……………………2分
，
∴
.
，
∴
平面
. ……………………4分
平面
，
平面
平面. …………………………5分
解法一：（Ⅱ）连接
，平面，
是直线
在平面上的射影. …………………………5分
，
平行四边形是菱形.
.
………………………………………7分
.
……………………………………9分
（Ⅲ）过点
作
交于点
，连接
.
，
平面
.
.
是二面角
的平面角.
………………………………………11分
设
，则
，
.
.
.
.
平面
，
平面，
.
.
在
中，可求
.
∵
，∴
.
∴
.
.
……………………………………13分
.
∴二面角的大小为
. …………………………14分
解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为
，则
垂直平面ABC.以为原点，过平行于
的直线为
轴，所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，由题意可知，
.
设
，由
，得
……………………………7分
.
又
.
.
.
………………………………………9分
（Ⅲ）设平面
的法向量为
.
则
∴
.
设平面
的法向量为
.则
∴
.
……………………………………12分
.
…………………………………13分
二面角的大小为.
………………………………………14分
（18）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）函数
的定义域为
． ………………………………1分
. …………………………3分
由
，解得
.
由
，解得
且
．
∴的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由题意可知，
，且
在
上的最小值小于等于时，存在实数
，使得不等式
成立．
………………………………………7分
若
即
时，
x
a+1
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的前
项和为
，且
，
是等比数列；
的通项公式，并求出n为何值时，