(1)求证:数列为等差数列, 【查看更多】

 

必做题部分

【填空题答案】

1．{2，4};       2．1－2i ;           3．；         4．；       5．7；

6．；        7．；            8．；        9．17；           10． ；

11．6；        12．；         13．3；         14．18．

 

二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15. （本题满分14分）

某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：

 

高一年级

高二年级

高三年级

女生

523

x

y

男生

487

490

z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.

（1）问高二年级有多少名女生？

（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少

名学生？

【解】（1）由题设可知，    所以x=510.       ………………………6分

    （2）高三年级人数为y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分

     现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：

 名.                                  ………………………12分

     答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．……………14分

 

16. （本题满分14分）

_{如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，}

_{AB=4a，BC= CF=2a， P为AB的中点.}

_{（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；}

_{（2）求四面体PCEF的体积.}

_{【证明】（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，}

_{所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°.     …………………………2分}

_{同理可证∠APD=45°.}

_{所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.                       …………………………3分}

_{又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. ………………………4分}

_{因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE .                  …………………………5分}

_{又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE.  …………………………7分}

【解】（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

所以DE//CF. 又DC⊥CF，

所以              ……………………… 10分

在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则

PQ//BC，PQ=BC=2a.

因为BC⊥CD，BC⊥CF，

所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，

亦即P到平面PCEF的距离为PQ=2a.                  ………………………12分

           ………………………14分

（注：本题亦可利用求得）

 

17 . （本题满分15分）

△ABC中，角A的对边长等于2，向量m=，向量n=.

（1）求m?n取得最大值时的角A的大小；

（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.

【解】（1）m?n＝2－. …………………3分

因为 A＋B＋C，所以B＋C－A，

于是m?n＝＋cosA＝－2＝－2.……………5分

因为，所以当且仅当＝，即A＝时，m?n取得最大值.

故m?n取得最大值时的角A＝.                       …………………………7分

（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

由余弦定理，得 b²＋c²－a²＝2bccosA，                 …………………………9分

即bc＋4＝b²＋c²≥2bc，                              ……………………… 11分

所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号.                ……………………… 12分

又S_△ABC＝bcsinA＝bc≤.

当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为.        ………………………15分

 

18. （本题满分15分）

在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且

OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的

椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与AB交于

点E.

（1）求证：；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，

求直线l的方程；

（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，

且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M

的方程．

【解】题设椭圆的方程为.                    …………………………1分

由消去y得.   …………………………2分

由于直线l与椭圆相切，故△＝(－2a²b)²－4a²(1+a²) (b²－1)＝0，

化简得.          ①                        …………………………4分

（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中点为.                           …………………………5分

因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，

即，亦即.         ②          …………………………6分

由①②解得，故直线l的方程为    …………………………8分

（3）由（2）知.

因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为.………9分

因为圆M在矩形及其内部，所以      ④     ……………………… 10分

圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以，即.

………………………12分

代入④得即            ………………………13分

所以圆M面积最大时，，这时，.

故圆M面积最大时的方程为 ………………………15分

 

19. （本题满分16分）

已知函数的导数为. 记函数

 k为常数）.

    （1）若函数f(x)在区间上为减函数，求的取值范围；

（2）求函数f(x)的值域.

【解】（1）因为f(x)在区间上为减函数，

所以对任意的且恒有成立.

即恒成立. …………………………3分

因为，所以对且时，恒成立.

又<1，所以                    …………………………6分

（2）.             …………………………7分

下面分两种情况讨论：

（1）当时，是关于x的增函数，值域为

…………………………9分

（2）当时，又分三种情况：

①当时，因为，所以即.

所以f(x)是减函数，.

又，

当，所以f(x)值域为.     ………………………10分

②当k=1时，，

且f(x)是减函数，故f(x)值域是.               ………………………12分

③当时，是增函数，，

.

下面再分两种情况：

（a）当时，的唯一实根，故，

是关于x的增函数，值域为；

（b）当时，的唯一实根，

当时，；当时，；

所以f(x).

故f(x)的值域为.                        ………………………15分

综上所述，f(x)的值域为；（）；

（）；（）.            ………………………16分

 

20．（本题满分16分）

设{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设{a_n}各项为正数，a₁=，a₁≠a₂，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素个数；

（3）设b_n=(a为常数，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，数列{b_n}前n项和为T_n. 对于正整数c，

d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 试比较(T_c)^-1+(T_f)^-1与(T_d)^-1+(T_e)^-1的大小.

【证】（1）{a_n}为等差数列，设其公差为，则

，于是（常数），

故数列是等差数列.                              …………………………3分

【解】（2）因为{a_n}为等差数列，所以是等差数列，

于是可设为常数)，从而.

因为m+p=2n，所以由两边平方得

，即，

亦即，………………………4分

于是，两边平方并整理得，即.                                  

 …………………………6分

因为m≠p，所以，从而，而a₁=，所以.

故.                                        …………………………7分

所以

.

因为15有4个正约数，所以数对（x，y）的个数为4个.

即集合中的元素个数为4.  ………………………9分

（3）因为（常数），

所以数列{b_n}是正项等比数列.

因为a₁≠a₂，所以等比数列{b_n}的公比q≠1.               ………………………10分

（解法一）  ①

.       ②

因为，所以要证②，只要证，   ③…………………13分

而③

.    ④

④显然成立，所以③成立，从而有.…………………16分

（解法二）注意到当n>m时，.       ……………………12分

于是

. ……………………14分

而，故.   ……………………16分

（注：第（3）问只写出正确结论的，给1分）

 

附加题部分

21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修4－1：几何证明选讲

_{如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线}

_{相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.}

求证： .

【证明】连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，

又EF⊥AB，∠EFA=90°，所以A、D、E、F四点共圆.

所以∠DEA=∠DFA.                                  …………………………10分

 

B. 选修4－2：矩阵与变换

已知, 求矩阵B.

【解】设 则，      …………………………5分

故             ………………………10分

C. 选修4－4：坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系xOy中，动圆（R）的

圆心为 ，求的取值范围..

【解】由题设得（为参数，R）.         …………………………5分

于是，

所以 .                              ………………………10分

 

D．选修4－5：不等式证明选讲

已知函数. 若不等式对a¹0, a、bÎR恒成立，

求实数x的范围.

【解】 由|且a¹0得.

又因为，则有2.  …………………………5分

解不等式    得              ……………………… 10分

 

22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上

的一点，.

（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60º；

（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，

⊥AP，并证明你的结论.

【解】（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B₁(1,1,1),  D₁(0,0,2).

所以

又由的一个法向量.

设与所成的角为，

则=，解得.

故当