题目列表(包括答案和解析)
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
男生 | 595 | 560 | y |
女生 | 605 | x | z |
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
女生 | 487 | x | y |
男生 | 513 | 560 | z |
必做题部分
【填空题答案】
1.{2,4}; 2.1-2i ; 3.; 4.; 5.7;
6.; 7.; 8.; 9.17; 10. ;
11.6; 12.; 13.3; 14.18.
二、解答题:本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本题满分14分)
某高级中学共有学生3000名,各年级男、女生人数如下表:
高一年级
高二年级
高三年级
女生
523
x
y
男生
487
490
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.17.
(1)问高二年级有多少名女生?
(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生,问应在高三年级抽取多少
名学生?
【解】(1)由题设可知, 所以x=510. ………………………6分
(2)高三年级人数为y+z=3000-(523+487+490+510)=990,………………9分
现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生,应在高三年级抽取的人数为:
名. ………………………12分
答:(1)高二年级有510名女生;(2)在高三年级抽取99名学生.……………14分
16. (本题满分14分)
如图, ABCD为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
AB=
(1)求证:平面PCF⊥平面PDE;
(2)求四面体PCEF的体积.
【证明】(1)因为ABCD为矩形,AB=2BC, P为AB的中点,
所以三角形PBC为等腰直角三角形,∠BPC=45°. …………………………2分
同理可证∠APD=45°.
所以∠DPC=90°,即PC⊥PD. …………………………3分
又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD内,所以PC⊥DE. ………………………4分
因为DE∩PD=D ,所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因为PC在平面PCF内,所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分
【解】(2)因为CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
所以DE//CF. 又DC⊥CF,
所以 ……………………… 10分
在平面ABCD内,过P作PQ⊥CD于Q,则
PQ//BC,PQ=BC=
因为BC⊥CD,BC⊥CF,
所以BC⊥平面PCEF,即PQ⊥平面PCEF,
亦即P到平面PCEF的距离为PQ=
………………………14分
(注:本题亦可利用求得)
17 . (本题满分15分)
△ABC中,角A的对边长等于2,向量m=,向量n=.
(1)求m?n取得最大值时的角A的大小;
(2)在(1)的条件下,求△ABC面积的最大值.
【解】(1)m?n=2-. …………………3分
因为 A+B+C,所以B+C-A,
于是m?n=+cosA=-2=-2.……………5分
因为,所以当且仅当=,即A=时,m?n取得最大值.
故m?n取得最大值时的角A=. …………………………7分
(2)设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,
由余弦定理,得 b2+c2-a2=2bccosA, …………………………9分
即bc+4=b2+c2≥2bc, ……………………… 11分
所以bc≤4,当且仅当b=c=2时取等号. ……………………… 12分
又S△ABC=bcsinA=bc≤.
当且仅当a=b=c=2时,△ABC的面积最大为. ………………………15分
18. (本题满分15分)
在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上(如图),且
OC=1,OA=a+1(a>1),点D在边OA上,满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的
椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l:y=-x+b与椭圆弧相切,与AB交于
点E.
(1)求证:;
(2)设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分,
求直线l的方程;
(3)在(2)的条件下,设圆M在矩形及其内部,
且与l和线段EA都相切,求面积最大的圆M
的方程.
【解】题设椭圆的方程为. …………………………1分
由消去y得. …………………………2分
由于直线l与椭圆相切,故△=(-
化简得. ① …………………………4分
(2)由题意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),
于是OB的中点为. …………………………5分
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分,所以l过点,
即,亦即. ② …………………………6分
由①②解得,故直线l的方程为 …………………………8分
(3)由(2)知.
因为圆M与线段EA相切,所以可设其方程为.………9分
因为圆M在矩形及其内部,所以 ④ ……………………… 10分
圆M与 l相切,且圆M在l上方,所以,即.
………………………12分
代入④得即 ………………………13分
所以圆M面积最大时,,这时,.
故圆M面积最大时的方程为 ………………………15分
19. (本题满分16分)
已知函数的导数为. 记函数
k为常数).
(1)若函数f(x)在区间上为减函数,求的取值范围;
(2)求函数f(x)的值域.
【解】(1)因为f(x)在区间上为减函数,
所以对任意的且恒有成立.
即恒成立. …………………………3分
因为,所以对且时,恒成立.
又<1,所以 …………………………6分
(2). …………………………7分
下面分两种情况讨论:
(1)当时,是关于x的增函数,值域为
…………………………9分
(2)当时,又分三种情况:
①当时,因为,所以即.
所以f(x)是减函数,.
又,
当,所以f(x)值域为. ………………………10分
②当k=1时,,
且f(x)是减函数,故f(x)值域是. ………………………12分
③当时,是增函数,,
.
下面再分两种情况:
(a)当时,的唯一实根,故,
是关于x的增函数,值域为;
(b)当时,的唯一实根,
当时,;当时,;
所以f(x).
故f(x)的值域为. ………………………15分
综上所述,f(x)的值域为;();
();(). ………………………16分
20.(本题满分16分)
设{an}是等差数列,其前n项的和为Sn.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)设{an}各项为正数,a1=,a1≠a2,若存在互异正整数m,n,p满足:①m+p=2n;
②. 求集合的元素个数;
(3)设bn=(a为常数,a>0,a≠1,a1≠a2),数列{bn}前n项和为Tn. 对于正整数c,
d,e,f,若c<d<e<f,且c+f=d+e, 试比较(Tc)-1+(Tf)-1与(Td)-1+(Te)-1的大小.
【证】(1){an}为等差数列,设其公差为,则
,于是(常数),
故数列是等差数列. …………………………3分
【解】(2)因为{an}为等差数列,所以是等差数列,
于是可设为常数),从而.
因为m+p=2n,所以由两边平方得
,即,
亦即,………………………4分
于是,两边平方并整理得,即.
…………………………6分
因为m≠p,所以,从而,而a1=,所以.
故. …………………………7分
所以
.
因为15有4个正约数,所以数对(x,y)的个数为4个.
即集合中的元素个数为4. ………………………9分
(3)因为(常数),
所以数列{bn}是正项等比数列.
因为a1≠a2,所以等比数列{bn}的公比q≠1. ………………………10分
(解法一) ①
. ②
因为,所以要证②,只要证, ③…………………13分
而③
. ④
④显然成立,所以③成立,从而有.…………………16分
(解法二)注意到当n>m时,. ……………………12分
于是
. ……………………14分
而,故. ……………………16分
(注:第(3)问只写出正确结论的,给1分)
附加题部分
21. (选做题)本大题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题. 每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线
相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.
求证: .
【证明】连结AD,因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,
又EF⊥AB,∠EFA=90°,所以A、D、E、F四点共圆.
所以∠DEA=∠DFA. …………………………10分
B. 选修4-2:矩阵与变换
已知, 求矩阵B.
【解】设 则, …………………………5分
故 ………………………10分
C. 选修4-4:坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy中,动圆(R)的
圆心为 ,求的取值范围..
【解】由题设得(为参数,R). …………………………5分
于是,
所以 . ………………………10分
D.选修4-5:不等式证明选讲
已知函数. 若不等式对a¹0, a、bÎR恒成立,
求实数x的范围.
【解】 由|且a¹0得.
又因为,则有2. …………………………5分
解不等式 得 ……………………… 10分
22. 必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
如图,在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱中,P是侧棱上
的一点,.
(1)试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º;
(2)在线段上是否存在一个定点,使得对任意的m,
⊥AP,并证明你的结论.
【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则
A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).
所以
又由的一个法向量.
设与所成的角为,
则=,解得.
故当
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