如图所示，水平固定放置的平行金属板M、N，两板间的距离为d，在两板的中心（即到上、下板距离相等，到板左、右端距离相等）有一悬点O，系有一长r=

d

4

的绝缘细线，线的另一端系有一质量为m、带正电荷的小球，电荷量为q．现对两板充电，使得两板间形成一竖直向上的匀强电场，匀强电场的大小为E=

2mg

q

．求：
（1）小球静止时，细线的拉力大小
（2）现给小球以速度，要使得小球在竖直平面内绕O点做完整的圆周运动，小球在整个圆周运动中的最小速度多大？
（3）小球能绕悬点O在竖直平面内做完整的圆周运动，当小球运动到竖直直径AB的B端时，细线突然断开，设此时其水平速度大小为

v

B

=

2gd

，小球恰好从平行金属板的边界飞出，求平行金属板的长度L．

有一匀强磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内，磁场方向垂直于xy平面（磁场未画出）．某时刻起一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x轴正方向．最终粒子到达y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，已知OP的距离为L，如图所示．不计重力的影响．
（1）求磁场区域的半径R及磁场的磁感强度B的大小；
（2）求带电粒子从O运动到P点的时间t；
（3）若在P点的上半部存在一与水平方向成30°的匀强电场E，则带电粒子再次到达y轴上的点Q点（未画出）时，距O点的距离S．

如图所示，两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量均为 Q，固定于同一条竖直线上的 A、B 两点处，其中 A 处的电荷带正电，B 处的电荷带负电，A、B 相距为2d．MN 是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球 P，质量为 m、电荷量为+q  （可视为点电荷），现将小球 P 从与点电荷 A 等高的 C 处由静止释放，小球 P 向下运动到与 C点距离为 d 的 D 点时，速度为 v．已知 MN 与 AB 之间的距离为 d，静电力常量为 k，重力加速度为 g，若取无限远处的电势为零，试求：
（1）在 A、B 所形成的电场中 C 点的电势φ_C．
（2）小球 P 经过 D 点时的加速度．

有一种“双聚焦分析器”质谱仪，工作原理如图所示．加速电场的电压为U，静电分析器中有辐向会聚电场，即与圆心O₁等距各点的电场强度大小相同，方向沿径向指向圆心O₁；磁分析器中以O₂为圆心、圆心角为90°的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行．由离子源发出一个质量为m、电荷量为q的正离子（初速度为零，重力不计），经加速电场加速后，从M点沿垂直于该点的电场方向进入静电分析器，在静电分析器中，离子沿半径为R的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，并从N点射出静电分析器．而后离子由P点沿着既垂直于磁分析器的左边界，又垂直于磁场方向射入磁分析器中，最后离子沿垂直于磁分析器下边界的方向从Q点射出，并进入收集器．测量出Q点与圆心O₂的距离为d，位于Q点正下方的收集器入口离Q点的距离为

d

2

．（题中的U、m、q、R、d都为已知量）
（1）求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度E的大小；
（2）求磁分析器中磁感应强度B的大小；
（3）现将离子换成质量为4m，电荷量仍为q的另一种正离子，其它条件不变．磁分析器空间足够大，离子不会从圆弧边界射出，收集器的位置可以沿水平方向左右移动，要使此时射出磁分析器的离子仍能进入收集器，求收集器水平移动的距离．