例1.如图所示.空间四边形ABCD中.E.F.G分别在AB.BC.CD上.且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1. CG∶GD=3∶1.过E.F.G的平面交AD于H.连接EH. 求证:EH.FG.BD——青夏教育精英家教网—

例1.如图所示.空间四边形ABCD中.E.F.G分别在AB.BC.CD上.且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1. CG∶GD=3∶1.过E.F.G的平面交AD于H.连接EH. 求证:EH.FG.BD三线共点. (1)解 ∵=2.∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH. 且平面EFGH∩平面ACD=GH. ∴EF∥GH.而EF∥AC. ∴AC∥GH. ∴=3,即AH∶HD=3∶1. (2)证明 ∵EF∥GH,且.. ∴EF≠GH.∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P.则P∈EH.而EH平面ABD. P∈FG.FG平面BCD.平面ABD∩平面BCD=BD. ∴P∈BD.∴EH.FG.BD三线共点. 例2 如图所示.正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是A1B1.B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线?说明理由, (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由. 解 (1)不是异面直线.理由如下: ∵M.N分别是A1B1.B1C1的中点.∴MN∥A1C1. 又∵A1A D1D.而D1D C1C, ∴A1A CC1.∴四边形A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC.得到MN∥AC. ∴A.M.N.C在同一个平面内.故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: 假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内.则B∈平面CC1D1.C∈平面CC1D1. ∴BC平面CC1D1.这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾.∴假设不成立.故D1B与CC1是异面直线. 例3在四棱锥P-ABCD中.底面是边长为2的菱形.∠DAB=60°.对角线AC与BD交于点O.PO⊥平面ABCD.PB与平面ABCD所成角为60°.若E是PB的中点.求异面直线DE与PA所成角的余弦值. 解取AB的中点F.连接EF.DF. ∵E为PB中点.∴EF∥PA. ∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角.在Rt△POB中.∵BO=AB·sin30°=1. 又PO⊥OB.∴PO=BO·tan60°=. 在Rt△AOB中.AO=AB·cos30°==OP. ∴在Rt△POA中.PA=.∴EF=. 在正三角形ABD和正三角形PDB中.DF=DE=. 由余弦定理得 ∴cos∠DEF==. 所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为. 例4.如图.E.F.G.H分别是空间四边形AB.BC.CD.DA上的点.且EH与FG相交于点O. 求证:B.D.O三点共线. 证明 ∵E∈AB.H∈AD. ∴E∈平面ABD.H∈平面ABD. ∴EH平面ABD. ∵EH∩FG=O.∴O∈平面ABD. 同理可证O∈平面BCD. ∴O∈平面ABD∩平面BCD.即O∈BD. 所以B.D.O三点共线. 例5.在正方体AC1中.E是CD的中点.连接AE并延长与BC的延长线交于点F.连接BE并延长交AD的延长线于点G.连接FG. 求证:直线FG平面ABCD且直线FG∥直线A1B1. 证明由已知得E是CD的中点.在正方体中.由于A∈平面ABCD. E∈平面ABCD. 所以AE平面ABCD. 又AE∩BC=F. 从而F∈平面ABCD. 同理G∈平面ABCD.所以FG平面ABCD.因为EC AB.故在Rt△FBA中.CF=BC.同理DG=AD. 又在正方形ABCD中.BC AD.所以CF DG.所以四边形CFGD是平行四边形. 所以FG∥CD.又CD∥AB.AB∥A1B1. 所以直线FG∥直线A1B1. 【查看更多】

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