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    五)典例分析 例1如图所示.在三棱柱ABC-A1B1C1中.M.N分别是BC和A1B1的中点.求证:MN∥平面AA1C1. 证明 设A1C1中点为F.连接NF.FC. ∵N为A1B1中点. ∴NF∥B1C1.且NF=B1C1. 又由棱柱性质知B1C1 BC.又M是BC的中点. ∴NF MC. ∴四边形NFCM为平行四边形.∴MN∥CF.又CF平面AA1C1. MN平面AA1C1. ∴MN∥平面AA1C1. 例2如图所示.正方体ABCD-A1B1C1D1中.侧面对角线AB1.BC1上分别有两点E.F.且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD. 证明 方法一 分别过E.F作EM⊥AB于M.FN⊥BC于N.连接MN. ∵BB1⊥平面ABCD. ∴BB1⊥AB.BB1⊥BC. ∵EM∥BB1.FN∥BB1. ∴EM∥FN. 又∵B1E=C1F.∴EM=FN. 故四边形MNFE是平行四边形. ∴EF∥MN. 又MN平面ABCD.EF平面ABCD. 所以EF∥平面ABCD. 方法二 过E作EG∥AB交BB1于G. 连接GF.则. ∵B1E=C1F.B1A=C1B. ∴.∴FG∥B1C1∥BC. 又EG∩FG=G.AB∩BC=B. ∴平面EFG∥平面ABCD.而EF平面EFG. ∴EF∥平面ABCD. 例3如图.平面∥平面.A∈.C∈.B∈.D∈,点E.F分别在线段AB.CD上.且AE∶EB=CF∶FD. (1)求证:EF∥; (2)若E.F分别是AB.CD的中点.AC=4.BD=6.且AC.BD所成的角为60°.求EF的长. 证明(1) ①当AB.CD在同一平面内时. 由∥.平面∩平面ABDC=AC. 平面∩平面ABDC=BD. ∴AC∥BD. ∵AE∶EB=CF∶FD.∴EF∥BD.又EF,BD,∴EF∥. ②当AB与CD异面时. 设平面ACD∩=DH.且DH=AC. ∵∥.∩平面ACDH=AC. ∴AC∥DH.∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G.使AG∶GH=CF∶FD. 又∵AE∶EB=CF∶FD.∴GF∥HD.EG∥BH. 又EG∩GF=G.∴平面EFG∥平面. ∵EF平面EFG.∴EF∥.综上.EF∥. (2)解 如图所示.连接AD.取AD的中点M.连接ME.MF. ∵E.F分别为AB.CD的中点. ∴ME∥BD.MF∥AC.且ME=BD=3.MF=AC=2. ∴∠EMF为AC与BD所成的角. ∴∠EMF=60°或120°.∴在△EFM中由余弦定理得. EF==,即EF=或EF=. 例4如图所示.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G.H分别是BC.CC1.C1D1.A1A的中点.求证: (1)BF∥HD1, (2)EG∥平面BB1D1D, (3)平面BDF∥平面B1D1H. 证明 (1)如图所示.取BB1的中点M.易证四边形HMC1D1是平行四边形.∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF.∴BF∥HD1. (2)取BD的中点O.连接EO.D1O. 则OEDC. 又D1GDC.∴OED1G ∴四边形OEGD1是平行四边形.∴GE∥D1O. 又D1O平面BB1D1D.∴EG∥平面BB1D1D. 知D1H∥BF.又BD∥B1D1.B1D1.HD1平面HB1D1.BF.BD平面BDF.且B1D1∩HD1=D1. DB∩BF=B.∴平面BDF∥平面B1D1H. 【查看更多】

     

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