如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁，D是棱AA₁的中点。

(Ｉ) 证明：平面⊥平面

（Ⅱ）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.

【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,    又∵面，∴,

由题设知,∴=,即,

又∵,   ∴⊥面,    ∵面，

∴面⊥面；

（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，

由三棱柱的体积=1，

∴=1:1，  ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1

 

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC₁、AB、BC的中点，且.

（Ⅰ）求证：CN∥平面AMB₁；

（Ⅱ）求证： B₁M⊥平面AMG.

【解析】本试题主要是考查了立体几何汇总线面的位置关系的运用。第一问中，要证CN∥平面AMB₁；，只需要确定一条直线CN∥MP，既可以得到证明

第二问中，∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，得到线线垂直，B₁M⊥AG，结合线面垂直的判定定理和性质定理，可以得证。

解：(Ⅰ)设AB₁ 的中点为P，连结NP、MP ………………1分

∵CM   ，NP   ，∴CM       NP， …………2分

∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP  …………………………3分

∵CN  平面AMB₁，MP奂  平面AMB₁，∴CN∥平面AMB₁…4分

(Ⅱ)∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，

    ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁ B₁ B，∴B₁M⊥AG………………6分

∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁⊥B₁ C，  

设：AC=2a，则

…………………………8分

同理，…………………………………9分

∵ BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AB，

………………………………10分

 

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

又因为,………………2分

又，得证。

第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

又因为,又………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

 

在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h₁，则

1

h 2 1

=

1

CA2

+

1

CB2

；类比此性质，如图，在四面体P-ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为．