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    5．正四面体ABCD的棱长为l.棱AB∥平面.则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 . ◆答案提示:1-3.DBDA; 5. 6. .CD⊥平面α时射影面积最小,CD//α时射影面积最大. 典例剖析 例1 如图所示.已知PA⊥矩形ABCD所在平面.M.N分别是AB.PC的中点. 若∠PDA=45°求证:MN⊥平面PCD. 证明 (1)连接AC.AN.BN.∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AC. 在Rt△PAC中.N为PC中点. ∴AN=PC. ∵PA⊥平面ABCD. ∴PA⊥BC.又BC⊥AB.PA∩AB=A. ∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB. 从而在Rt△PBC中.BN为斜边PC上的中线. ∴BN=PC.∴AN=BN. ∴△ABN为等腰三角形. 又M为底边的中点.∴MN⊥AB. 又∵AB∥CD.∴MN⊥CD. (2)连接PM.CM,∵∠PDA=45°.PA⊥AD.∴AP=AD. ∵四边形ABCD为矩形. ∴AD=BC.∴PA=BC. 又∵M为AB的中点.∴AM=BM. 而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM. 又N为PC的中点.∴MN⊥PC. 由(1)知.MN⊥CD.PC∩CD=C, ∴MN⊥平面PCD. 例2 如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点.(1)求证:BG⊥平面PAD, 若E为BC边的中点.能否在棱PC上找到一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.并证明你的结论. (1)证明 在菱形ABCD中.∠DAB=60°.G为AD的中点.所以BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD. 平面PAD∩平面ABCD=AD. 所以BG⊥平面PAD. (2)证明 连接PG.因为△PAD为正三角形. G为AD的中点.得PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD. PG平面PGB.BG平面PGB.PG∩BG=G. 所以AD⊥平面PGB.因为PB平面PGB. 所以AD⊥PB. (3)解 当F为PC的中点时. 满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下: 取PC的中点F.连接DE.EF.DF. 在△PBC中.FE∥PB.在菱形ABCD中. GB∥DE.而FE平面DEF.DE平面DEF.EF∩DE=E.所以平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD.所以BG⊥PG 又因为PG⊥AD.AD∩BG=G. ∴PG⊥平面ABCD.而PG平面PGB.所以平面PGB⊥平面ABCD. 所以平面DEF⊥平面ABCD. 例3如图.在四棱锥P-ABCD中.PA⊥底面ABCD.AB⊥AD.AC⊥CD.∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明: PD⊥平面ABE. 证明 (1)在四棱锥P-ABCD中. ∵PA⊥底面ABCD.CD平面ABCD.∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A.∴CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC.∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC.∠ABC=60°.可得AC=PA. ∵E是PC的中点.∴AE⊥PC. 由(1)知.AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD.∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD.∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD=A, ∴AB⊥平面PAD.而PD平面PAD.∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,综上得PD⊥平面ABE. 例4 如图所示.直三棱柱ABC-A1B1C1中.B1C1=A1C1. AC1⊥A1B.M.N分别是A1B1.AB的中点. (1)求证:C1M⊥平面A1ABB1, (2)求证:A1B⊥AM,(3)求证:平面AMC1∥平面NB1C,(4)求A1B与B1C所成的角. (1)证明 方法一 由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1. 又∵C1M平面A1B1C1.∴AA1⊥MC1.又∵C1A1=C1B1.M为A1B1中点.∴C1M⊥A1B1. 又A1B1∩A1A=A1. ∴C1M⊥平面AA1B1B. 知C1M⊥平面A1ABB1. ∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA. ∵AC1⊥A1B.MC1⊥A1B.MC1∩AC1=C1. ∴A1B⊥平面AMC1.又AM平面AMC1. ∴A1B⊥AM. 知C1M⊥平面AA1B1B. A1B平面AA1B1B.∴C1M⊥A1B. 又∵A1B⊥AC1.而AC1∩C1M=C1. ∴A1B⊥平面AMC1. 同理可证.A1B⊥平面B1NC. ∴平面AMC1∥平面B1NC. 知A1B⊥AM.又由已知A1B⊥AC1.AM∩AC1=A.∴A1B⊥平面AMC1. 又∵平面AMC1∥平面NB1C.∴A1B⊥平面NB1C. 又B1C平面NB1C.∴A1B⊥B1C. ∴A1B与B1C所成的角为90°. 【查看更多】

     

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