练习册

  • 练习册
  • 试题
    AB⊥平面BCD.DC⊥CB.AD与平面BCD所成的角为30°.且AB=BC. 求AD与平面ABC所成角的大小. 例1如图所示.过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a.求: (1)二面角B-PC-D的大小, (2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小. 解 (1)∵PA⊥平面ABCD.BD⊥AC.∴BD⊥PC 在平面PBC内.作BE⊥PC.E为垂足.连结DE.得PC⊥平面BED. 从而DE⊥PC.即∠BED是二面角B-PC-D的平面角. 在Rt△PAB中.由PA=AB=a.得PB=a. ∵PA⊥平面ABCD.BC⊥AB. ∴BC⊥PB ∴PC= 在Rt△PBC中.BE=同理DE=. 在△BDE中.根据余弦定理.得 ?cos∠BED=. ∴∠BED=120°.即二面角B-PC-D的大小为120°. (2)过P作PQ∥AB.则PQ平面PAB. ∵AB∥CD.∴PQ∥CD.PQ平面PCD. ∵PA⊥AB.∴PA⊥PQ ∵PA⊥平面ABCD.CD⊥AD. ∴CD⊥PD即QP⊥PD. 则∠APD即为所求的二面角. ∵PA=AD=a,PA⊥AD. ∴∠APD=45°? 即所求的二面角的大小为45°. 例2如图所示.在△ABC中.B=90°,AC=,D.E两点分别在AB.AC上.使=2. DE=3.现将△ABC沿DE折成直二面角.求: (1)异面直线AD与BC的距离,(2)二面角A-EC-B的大小. 解 方法一 中.因. 故DE∥BC. 又因为B=90°,从而AD⊥DE. 在图(2)中,因二面角A-DE-B是直二面角,AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE,从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线. 下面求DB的长,在图(1)中, 由=2,得. 又已知DE=3,从而BC=DE=. AB==6. 因为,所以DB=2. 故异面直线AD与BC的距离为2. 中,过D作DF⊥CE,交CE的延长线于点F,连接AF,由(1)知,AD⊥底面DBCE.由三垂线定理知AF⊥FC, 故∠AFD为二面角A-EC-B的平面角.在底面DBCF中,∠DEF=∠BCE, DB=2,EC=. 因此sin∠BCE=,从而在Rt△DFE中.DE=3. DF=DEsin∠DEF=DEsin∠BCE=3·. 在Rt△AFD中.AD=4.tan∠AFD=. 因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan. 方法二 (1)同方法一. 可知.以D点为坐标原点.的方向为x.y.z轴的正方向建立空间直角坐标系. 如图.A.C.E. =(-2.-.0).=.过D作DF⊥CE.交CE的延长线于点F.连接AF. 设F(x0.y0.0).从而=(x0.y0.0). =(x0.y0-3.0).由DF⊥CE.得 ? =0.即2x0+y0=0. ① 又由∥.得. ② 联立①,②,解得x0=-,y0=, 即F,得. 因为·(-2)+·=0. 故AF⊥CE.又因为DF⊥CE. 所以∠DFA为所求的二面角A-EC-B的平面角.因为. 所以=4. 所以tan∠AFD= 因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan. 例3如图所示.已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小; (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小. 解 如图所示.以D为原点.DA为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz. 则=.=.连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中, 延长DP交B′D′于H. 设=,由已知〈,〉=60°, 由·=||||cos〈,〉,可得2m=. 解得m=,所以=. (1)因为cos〈,〉= 所以〈,〉=45°, 即DP与CC′所成的角为45°. (2)平面AA′D′D的一个法向量是=. 因为cos〈,〉=, 所以〈,〉=60°, 可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°. 例4如图所示.AF.DE分别是⊙O.⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直.AD=8.BC是⊙O 的直径.AB=AC=6.OE∥AD. (1)求二面角B-AD-F的大小, (2)求直线BD与EF所成的角的余弦值. 解 (1)∵AD与两圆所在的平面均垂直. ∴AD⊥AB.AD⊥AF. 故∠BAF是二面角B-AD-F的平面角. 依题意可知.四边形ABFC是正方形. ∴∠BAF=45°. 即二面角B-AD-F的大小为45°; (2)以O为原点.CB.AF.OE所在直线为坐标轴.建立空间直角坐标系. 则O.A(0.-3.0). B(3.0.0).D(0.-3.8). E.F(0.3.0). ∴=(-3.-3.8). ?=(0.3.-8). ?cos〈,〉= 设异面直线BD与EF所成角为.则 ?cos=|cos〈〉|=. 即直线BD与EF所成的角的余弦值为. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图所示，AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC．

    求AD与平面ABC所成角的大小．

    查看答案和解析>>

    如图所示，AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC．

    求AD与平面ABC所成角的大小．

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案