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    在Rt△ABC中.∠C=30°.∠B=90°.D是BC边的中点.AC=2.DE⊥平面ABC.DE=1.则点E到斜边AC的 距离是 A. ? B.? C.? D. 典例剖析: 例1.如图所示.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ACB=90°.AC=BC=a.D.E分别为棱AB.BC的中点.M为棱AA1上的点.二面角M-DE-A为30°. (1)证明:A1B1⊥C1D, (2)求MA的长.并求点C到平面MDE的距离. (1)证明 连结CD.∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱. ∴CC1⊥平面ABC. ∴CD为C1D在平面ABC内的射影. ∵在△ABC中.AC=BC.D为AB的中点. ∴AB⊥CD.∴AB⊥C1D. ∵A1B1∥AB.∴A1B1⊥C1D. (2)过点A作CE的平行线交ED的延长线于F.连结MF. ∵D.E分别为AB.BC的中点.∴DE∥AC. 又∵AF∥CE.CE⊥AC.∴AF⊥DE. ∵MA⊥平面ABC. ∴AF为MF在平面ABC内的射影. ∴MF⊥DE. ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角.∠MFA=30° 在Rt△MAF中.AF=BC=.∠MFA=30°,∴AM=a. 作AG⊥MF于G. ∵MF⊥DE.AF⊥FE.∴DE⊥平面AMF. ∴平面MDE⊥平面AMF.∴AG⊥平面MDE. 在Rt△GAF中.∠GFA=30°.AF=. ∴AG=.即点A到平面MDE的距离为. ∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE. ∴点C到平面MDE的距离为. 例2.已知正方形ABCD.边长为1.过D作PD⊥平面ABCD.且PD=1.E.F分别是AB.BC的中点. (1)求D点到平面PEF的距离, (2)求直线AC到平面PEF的距离. 解 (1)∵EF⊥BD.EF⊥PD. ∴EF⊥平面PDB. ∴平面PEF⊥平面PBD.交线为PG.∴D点到平面PEF的距离.就是D到PG的距离h. 在△PDG中.h=.而PD=1.DG=. PG=. ∴h=. 即D点到平面PEF的距离是. 另解: ∵VD-PEF=VP-DEF.即S△PEF·h=S△DEF·PD. ∴h= ∴D点到平面PEF的距离是. (2)连结AC交BD于O.则O到平面PEF的距离就为所求.因为平面PDG⊥平面PEF.所以O到PG 的距离就是O到平面PEF的距离. 过O作OH⊥PG于H 在Rt△PDG中.∵OH⊥PG. ∴△PDG∽△OHG.∴ ∵PD=1.OG=. ∴PG=∴OH= ∴直线AC到平面PEF的距离为. 例3.如图.在直三棱柱中...分别为棱的中点.为棱上的点.二面角为．(1)证明:求的长.并求点到平面的距离． (请用多种方法.至少要用向量法) (I)证明:连结.三棱柱是直三棱柱. 平面. 为在平面内的射影．中..为中点. . ．.． (II)解法一:过点作的平行线.交的延长线于.连结． 分别为的中点.． 又.．．平面. 为在平面内的射影．． 为二面角的平面角.． 在中...． 作.垂足为...平面.平面平面. 平面． 在中....即到平面的距离为． .平面. 到平面的距离与到平面的距离相等.为． 解法二:过点作的平行线.交的延长线于.连接．分别为的中点. ．又.．平面. 是在平面内的射影.． 为二面角的平面角.． 在中...． 设到平面的距离为.． ... ..即到平面的距离为． 例4.如图.在直三棱柱ABC-中. AB = 1,,点D.E分别在上.且.四棱锥与直三棱柱的体积之比为3:5. (1)求异面直线DE与的距离,(2)若BC =.求二面角的平面角的正切值. 解法一:(Ⅰ)因.且.故面. 从而.又.故是异面直线与的公垂线． 设的长度为.则四棱椎的体积为 ． 而直三棱柱的体积为． 由已知条件.故.解之得． 从而． 在直角三角形中.. 又因.故． 图1.过作.垂足为.连接.因..故面． 由三垂线定理知.故为所求二面角的平面角． 在直角中.. 又因. 故.所以． 解法二: 图2.以点为坐标原点建立空间直角坐标系.则....则.．设.则. 又设.则. 从而.即． 又.所以是异面直线与的公垂线． 下面求点的坐标．设.则． 因四棱锥的体积为 ． 而直三棱柱的体积为． 由已知条件.故.解得.即． 从而..． 接下来再求点的坐标． 由.有.即 (1) 又由得． (2) 联立.解得..即.得．故． (Ⅱ)由已知.则.从而.过作. 垂足为.连接.设.则.因为.故 --------------① 因且得.即 --------------② 联立①②解得..即． 则.．． 又.故. 因此为所求二面角的平面角．又.从而. 故.为直角三角形.所以． 【查看更多】

     

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    在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC边的中点，AC=2，DE⊥平面ABC，DE=1，则E到斜边AC的距离是

    [　　]

    A．
    B．
    C．
    D．

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    在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC边的中点，AC=2，DE⊥平面ABC，DE=1，则E到斜边AC的距离是

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    A．

    B．

    C．

    D．

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