已知正四棱柱的对角线的长为.且对角线与底面所成角的余弦值为.则该正四棱柱的体积等于 2 . 典例剖析例1 如图所示.正三棱柱ABC-A1B1C1中.E是AC中点. (1)求证:平面BEC1⊥平面ACC1A1, (2)求证:AB1∥平面BEC1, (3)若.求二面角E-BC1-C的大小. (1)证明 ∵ABC-A1B1C1是正三棱柱. ∴A1A⊥平面ABC.∴BE⊥AA1. ∵△ABC是正三角形.E是AC的中点. ∴BE⊥AC.又AA1∩AC=A.∴BE⊥平面ACC1A1. 又∵BE平面BEC1. ∴平面BEC1⊥平面ACC1A1. (2)证明连结B1C.设BC1∩B1C=D.连结DE. ∵ABC-A1B1C1是正三棱柱. ∴BCC1B1是矩形.D是B1C的中点. ∵E是AC的中点.∴AB1∥DE.∵DE平面BEC1.AB1平面BEC1. ∴AB1∥平面BEC1. (3)解作CF⊥EC1于F. FG⊥BC1于G.连结CG. ∵平面BEC1⊥平面ACC1A1. ∴CF⊥平面BEC1. ∴FG是CG在平面BEC1上的射影.根据三垂线定理得.CG⊥BC1. ∴∠CGF是二面角E-BC1-C的平面角. 设AB=a.∵.则AA1=a. 在Rt△ECC1中.CF= 在Rt△BCC1中.CG= 在Rt△CFG中. ∵sin∠CGF=.∴∠CGF=45°. ∴二面角E-BC1-C的大小为45°. 例2 在四棱锥E-ABCD中.底面ABCD是矩形且AB=2BC=2.侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD. F是AB的中点.AD的中点为O.求:(1)异面直线AE与CF所成的角,(2)点O到平面EFC的距离, (3)二面角E-FC-D的大小. 解 (1)取EB的中点G.连结FG.则FG∥AE.∴∠GFC为AE与CF所成的角. ∵平面AED⊥平面ABCD.∴底面ABCD是矩形.∴AB⊥AD. ∴AB⊥平面EAD.∴AB⊥EA. ∴EB=同理.EC=. ∴在△EBC中.由余弦定理得CG=. 又∵FG=EA=.CF=. ∴△CFG是直角三角形. ∴cos∠CFG=.∴异面直线AE与CF所成的角为arccos. (2)AD的中点为O.则EO⊥平面ABCD. 作OR⊥CF且与CF交于点R.则CF⊥ER ∴CF⊥平面EOR.又∵CF平面EFC. ∴平面EOR⊥平面EFC. 过O作OH⊥ER且与ER交于H, 则OH⊥平面EFC. ∴OH的长即为点O到平面EFC的距离. 由S△CFO=S矩形ABCD-S△AOF-S△CBF-S△COD.∴OR=. 在Rt△EOR中.OH=.∴所求距离为. (3)∠ERO即为二面角E-FC-D的平面角. an∠ERO=∴所求二面角的大小是arctan. 例3在三棱柱ABC-A1B1C1中.AB=a.BC=CA=AA1=a.A1在底面ABC上的射影O在AC上. (1)求AB与侧面A1ACC1所成的角, (2)若O恰为AC的中点.求此三棱柱的侧面积. 解 (1)∵A1O⊥平面ABC. ∴平面A1ACC1⊥平面ABC. 在△ABC中.由BC=AC=a. AB=a. 得∠ACB=90°.∠CAB=45°,∴BC⊥AC.∴BC⊥平面A1ACC1. AB与侧面A1ACC1所成的角为∠CAB=45°. (2)O是AC中点. 在Rt△AA1O中. AA1=a.AO=a. ∴∠A1AC=60°. 过C作CD⊥CC1交AA1于D.连结BD.由(1)知BC⊥平面A1ACC1. ∴BC⊥CC1.又BC平面BCD. CD平面BCD.BC∩CD=C.∴CC1⊥截面BCD.∴CC1⊥BD. ∴AA1⊥BD. 在Rt△ACD中.CD=a.在Rt△BCD中.BD= 则S三棱柱侧=?=AA1·BD+AA1·DC+CC1·BC= 例4.如图所示.在四棱锥P-ABCD中.平面PAD⊥平面ABCD.∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=AB,E是BP的中点. 求BP与平面ABCD所成角的正切值. (3)求二面角P-AB-D的大小. (1)证明如图.取PA中点F.连结EF.FD. ∵E是BP的中点. ∴EF∥AB且EF=AB. 又∵DC∥AB.DC=AB. ∴EF∥CD且EF=CD. ∴四边形EFDC是平行四边形.故得EC∥FD. 又∵EC平面PAD. FD平面PAD.∴EC∥平面ADP. (2)解取AD的中点H.连结PH.BH. ∵PA=PD.∴PH⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD.∴PH⊥平面ABCD. ∴HB是PB在平面ABCD内的射影. ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成的角. 由已知∠ABC=∠BCD=90°, ∴四边形ABCD是直角梯形.DC=CB=AB. 设AB=2a.则BD=a. 在△ADB中.易得∠DBA=45°,∴AD=a. PH=.又∵BD2+AD2=4a2=AB2. ∴△ABD是等腰直角三角形.∠ADB=90°.∴HB=. ∴在Rt△PHB中.tan∠PBH=. (3)解在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点.连结PG.则HG是PG在平面ABCD内的射影. 故PG⊥AB.所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角. 由AB=2a.HA=a.又∠HAB=45°,∴HG=a. 在Rt△PHG中.tan∠PGH=. ∴二面角P-AB-D的大小为arctan. 例5如图所示.三棱锥中....求三棱锥的体积. 【查看更多】

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