11．设函数f(x)＝(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0.都有f(x)≥ax成立.求实数a的取值范围． 解法一:令g(x)＝(x+1)ln(x+1)-ax. 对函数g(x)求导数:g′(x)＝ln(x+1)+1-a 令g′(x)＝0.解得x＝ea-1-1. --5分 (i)当a≤1时.对所有x＞0.g′(x)＞0.所以g(x)在[0.+∞)上是增函数. 又g(0)＝0.所以对x≥0.都有g(x)≥g(0).即当a≤1时.对于所有x≥0.都有 f(x)≥ax．--9分 (ii)当a＞1时.对于0＜x＜ea-1-1.g′(x)＜0.所以g(x)在(0.ea-1-1)是减函数. 又g(0)＝0.所以对0＜x＜ea-1-1.都有g(x)＜g(0).即当a＞1时.对所有的x≥0.都有f(x)≥ax成立． 综上.a的取值范围是(-∞.1]． --12分 解法二:令g(x)＝(x+1)ln(x+1)-ax.于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． --3分 对函数g(x)求导数:g′(x)＝ln(x+1)+1-a令g′(x)＝0.解得x＝ea-1-1. --6分 当x＞ ea-1-1时.g′(x)＞0.g(x)为增函数. 当-1＜x＜ea-1-1.g′(x)＜0.g(x)为减函数. --9分 所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0．由此得a≤1.即a的取值范围是(-∞.1]． 【
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