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    9．已知抛物线x2＝4y的焦点为F.A.B是抛物线上的两动点.且＝λ(λ＞0)．过A.B两点分别作抛物线的切线.设其交点为M． (Ⅰ)证明·为定值, (Ⅱ)设△ABM的面积为S.写出S＝f(λ)的表达式.并求S的最小值． 解:(Ⅰ)由已知条件.得F(0.1).λ＞0．设A(x1.y1).B(x2.y2)．由＝λ. 即得 (-x1.1-y)＝λ(x2.y2-1). 将①式两边平方并把y1＝x12.y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③ 解②.③式得y1＝λ.y2＝.且有x1x2＝-λx22＝-4λy2＝-4. 抛物线方程为y＝x2.求导得y′＝x． 所以过抛物线上A.B两点的切线方程分别是 y＝x1(x-x1)+y1.y＝x2(x-x2)+y2.即y＝x1x-x12.y＝x2x-x22． 解出两条切线的交点M的坐标为． --4分 所以·＝(.-2)·(x2-x1.y2-y1)＝(x22-x12)-2(x22-x12)＝0 所以·为定值.其值为0． --7分 知在△ABM中.FM⊥AB.因而S＝|AB||FM|． |FM|＝＝＝ ＝＝+． 因为|AF|.|BF|分别等于A.B到抛物线准线y＝-1的距离.所以 |AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝λ++2＝(+)2． 于是 S＝|AB||FM|＝(+)3. 由+≥2知S≥4.且当λ＝1时.S取得最小值4． 【查看更多】

     

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