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    题目列表(包括答案和解析)

    （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

         已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。

    （1）       判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；    

    （2）       求所有满足“2和性质”的一次函数；

    （3）       设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。

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    （本题满分16分）

       （文科学生做）已知命题p：函数在R上存在极值；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

     

    （理科学生做）已知命题p：对，函数有意义；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

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    （本题满分16分）

       在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

       （1）求圆的方程；

       （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    （本题满分16分）

       （文科学生做）已知命题p：函数在R上存在极值；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

     

    （理科学生做）已知命题p：对，函数有意义；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

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    （本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

       （1）求圆的方程；

       （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由

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    一、选择题：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    答案

    二、填空题：

    11. ；      12. ；          13. ；

    14. ；            15. ；        16. ③ ④ .

    三、解答题：

    17.解：（1）在中，由，得，  又由正弦定理： 得：.                                     ……………………4分

    （2）由余弦定理：得：，

    即，解得或（舍去），所以.       ……8分

     

    所以，

    即.                                      …………………12分

    18.解：（1）依题意，双曲线的方程可设为：、，

    则                解之得：，

    所以双曲线的方程为：.                  ……………………6分

    （2）设、，直线与轴交于点，此点即为双曲线的右焦点，由   消去，得，

    此方程的且，，

    所以、两点分别在左、右支上，不妨设在左支、在右支上   ………9分

    则由第二定义知：，，     …………11分

    所以

    ，即. ………14分

    （亦可求出、的坐标，用两点间距离公式求.）

     

    19.（1）当点为的中点时，与平面平行.

    ∵在中，、分别为、的中点

    ∴∥   又平面，而平面 

        ∴∥平面.                              ……………………4分

     

    （2）证明（略证）：易证平面，又是在平面内的射影，，∴.                         ……………………8分

     (3)∵与平面所成的角是，∴，，.

    过作于，连，则.     …………………10分

    易知：，，设，则，，

    在中，，

    得.                 ………14分

     

     

     

    解法二:（向量法）（1）同解法一

    （2）建立图示空间直角坐标系，则，                          ，，.

    设，则

          ∴   （本小题4分）

    （3）设平面的法向量为，由，

    得：，

    依题意，∴，

    得.                             （本小题6分）

     

    20.解：（1），

    ∴可设，

    因而   ①

    由  得          ②

    ∵方程②有两个相等的根，

    ∴，即  解得  或

    由于，（舍去），将 代入 ①  得 的解析式.                                …………………6分

    （2）=，

    ∵在区间内单调递减，

    ∴在上的函数值非正，

    由于，对称轴，故只需，注意到，∴，得或（舍去）

    故所求a的取值范围是.                     …………………11分

     （3）时，方程仅有一个实数根，即证方程 仅有一个实数根.令，由，得，，易知在，上递增，在上递减，的极大值，的极小值，故函数的图像与轴仅有一个交点，∴时，方程仅有一个实数根，得证.                                    ……………………16分

     

    21.解：（1），                        ……………………1分

    =.                      ……………………4分

    （2），           ……………………5分

    ，………7分

    ∴数列是为首项，为公比的等比数列.       ……………………8分

    （3）由（2）知， Sn =， ……………9分

    =∵0<<1，∴>0，，0<<1，，

    ∴，                                     ……………………11分

    又当时，，∴， ……………………13分

    ∴<.……14分

     


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