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（本小题满分14分）设．
（1）若函数在区间内单调递减，求的取值范围；
(2) 若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数
的单调性．

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一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空题：

11. ；      12. ；          13. ；

14. ；            15. ；        16. ③ ④ .

三、解答题：

17.解：（1）在中，由，得，  又由正弦定理： 得：.                                     ……………………4分

（2）由余弦定理：得：，

即，解得或（舍去），所以.       ……8分

所以，

即.                                      …………………12分

18.解：（1）依题意，双曲线的方程可设为：、，

则                解之得：，

所以双曲线的方程为：.                  ……………………6分

（2）设、，直线与轴交于点，此点即为双曲线的右焦点，由   消去，得，

此方程的且，，

所以、两点分别在左、右支上，不妨设在左支、在右支上   ………9分

则由第二定义知：，，     …………11分

所以

，即. ………14分

（亦可求出、的坐标，用两点间距离公式求.）

19.（1）当点为的中点时，与平面平行.

∵在中，、分别为、的中点

∴∥   又平面，而平面 

    ∴∥平面.                              ……………………4分

（2）证明（略证）：易证平面，又是在平面内的射影，，∴.                         ……………………8分

 (3)∵与平面所成的角是，∴，，.

过作于，连，则.     …………………10分

易知：，，设，则，，

在中，，

得.                 ………14分

解法二:（向量法）（1）同解法一

（2）建立图示空间直角坐标系，则，                          ，，.

设，则

      ∴   （本小题4分）

（3）设平面的法向量为，由，

得：，

依题意，∴，

得.                             （本小题6分）

20.解：（1），

∴可设，

因而   ①

由  得          ②

∵方程②有两个相等的根，

∴，即  解得  或

由于，（舍去），将 代入 ①  得 的解析式.                                …………………6分

（2）=，

∵在区间内单调递减，

∴在上的函数值非正，

由于，对称轴，故只需，注意到，∴，得或（舍去）

故所求a的取值范围是.                     …………………11分

 （3）时，方程仅有一个实数根，即证方程 仅有一个实数根.令，由，得，，易知在，上递增，在上递减，的极大值，的极小值，故函数的图像与轴仅有一个交点，∴时，方程仅有一个实数根，得证.                                    ……………………16分

21.解：（1），                        ……………………1分

=.                      ……………………4分

（2），           ……………………5分

，………7分

∴数列是为首项，为公比的等比数列.       ……………………8分

（3）由（2）知， S_n =， ……………9分

=∵0<<1，∴>0，，0<<1，，

∴，                                     ……………………11分

又当时，，∴， ……………………13分

∴<.……14分