4．反三角函数arcsinα.arccosα.arctanα分别表示[].[0.π].()的角． 典型例题 例1. (1)化简: (2)化简: 解:∵ ＝ ∴原式 = 变式训练1:已知.若.则 可化简为 ． 解: 例2. 已知.α∈[.].求(2α+)的值． 解法一:由已知得 ＝0 3sinα+2cosα＝0或2sinα-cosα＝0 由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠即α∈(,π) ∴tanα＝- sin(2α+)＝sin2αcos+cos2αsin ＝sinαcosα+(cos2α-sin2α) ＝ ＝ ＝ 解法二:由已知条件可知cosα≠0 则α≠ 从而条件可化为 6 tan2α+tanα-2＝0 ∵α∈(,π) 解得tanα＝- 变式训练2:在△ABC中....求A的值和△ABC的面积． 解:∵sinA+cosA＝ ① ∵2sinAcosA＝- 从而cosA＜0 A∈() ∴sinA-cosA＝ ＝ ② 据①②可得 sinA＝ cosA＝ ∴tanA＝-2- S△ABC＝ 例3. 已知tan＝.β＝-.且α.β∈(0.).求2α-β的值. 解:由tanβ＝- β∈ 得β∈(, π) ① 由tanα＝tan[+β]＝ α∈ 得0＜α＜ ∴ 0＜2α＜π 由tan2α＝＞0 ∴知0＜2α＜ ② ∵tan＝＝1 由①②知 2α-β∈ ∴2α-β＝- (或利用2α-β＝2 变式训练3:已知α为第二象限角.且sinα＝.求的值． 解:由sinα＝ α为第二象限角 ∴cosα＝- ∴ ＝＝- 例4．已知． (1)求tanα的值, (2)求的值． 解:(1)由 得 解得tanα＝-3或 又.所以为所求． (2)原式: 变式训练4:已知(<α<).试用k表示sin-cos的值． 解:∵ ∴k＝2sinαcosα ∵2＝1-k 又∵α∈() ∴sinα-cosα＝ 小结归纳 【
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