4．函数y＝Asin(ωx+)的图象与函数y＝sinx的图象关系．振幅变换:y＝Asinx的图象.可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都 .或到原来的倍而得到的．周期——青夏教育精英家教网—

4．函数y＝Asin(ωx+)的图象与函数y＝sinx的图象关系．振幅变换:y＝Asinx的图象.可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都 .或到原来的倍而得到的．周期变换:y＝sinωx的图象.可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标或到原来的倍而得到的．由于y＝sinx周期为2π.故y＝sinωx的周期为．相位变换:y＝sin(x+)(≠0)的图象.可以看做是把y＝sinx的图象上各点向 (>0)或向 (<0)平移个单位而得到的．由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx+)的图象主要有下列两种方法: 或说明:前一种方法第一步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移个单位．例1.已知函数y＝Asin(ωx+) ⑴ 若A＝3.ω＝.＝-.作出函数在一个周期内的简图． ⑵ 若y表示一个振动量.其振动频率是.当x＝时.相位是.求ω和．解:(1) y＝3sin()列表(略)图象如下: 0 π 2π x y 0 3 0 -3 0 (2)依题意有: ∴ 变式训练1:已知函数y=2sin, (1)求它的振幅.周期.初相, (2)用“五点法作出它在一个周期内的图象, (3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到. 解 (1)y=2sin的振幅A=2,周期T==.初相=. (2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX. 列表.并描点画出图象: x - X 0 2 y=sinX 0 1 0 -1 0 y=2sin(2x+) 0 2 0 -2 0 (3)方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位.得到y=sin的图象.再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍.得到y=sin的图象.最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍.即可得到y=2sin的图象. 方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍.纵坐标不变.得到y=sin2x的图象, 再将y=sin2x的图象向左平移个单位, 得到y=sin2=sin的图象,再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变.纵坐标伸长为原来的2倍.得到y=2sin的图象. 例2已知函数y=3sin (1)用五点法作出函数的图象, (2)说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的, (3)求此函数的振幅.周期和初相, (4)求此函数图象的对称轴方程.对称中心. 解 (1)列表: x 0 2 3sin 0 3 0 -3 0 描点.连线,如图所示: (2)方法一 “先平移.后伸缩 . 先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位.得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍.得到 y=sin的图象.最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍.就得到y=3sin的图象. 方法二 “先伸缩.后平移先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍.得到y=sinx的图象,再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位. 得到y=sin(x-)=sin的图象.最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍.就得到y=3sin的图象. (3)周期T===4.振幅A=3.初相是-. (4)令=+k, 得x=2k+,此为对称轴方程. 令x-=k得x=+2k. 对称中心为 . 变式训练2:已知函数的最小正周期为π且图象关于对称, 的解析式, 的图象与直线y＝a在上中有一个交点.求实数a的范围．解:(1) ∵w∈R 当w＝1时. 此时不是它的对称轴 ∴w＝-1 (2) 如图:∵直线y＝a在上与y＝1-f(x)图象只有一个交点 ∴或a＝1 例3．如图为y=Asin(x+)的图象的一段.求其解析式. 解方法一以N为第一个零点. 则A=-.T=2=. ∴=2.此时解析式为y=-sin(2x+). ∵点N.∴-×2+=0.∴=. 所求解析式为y=-sin. ① 方法二由图象知A=. 以M为第一个零点.P为第二个零点. 列方程组解之得. ∴所求解析式为y=sin. ② 变式训练3:函数y=Asin(x+)(＞0,||＜ ,x∈R)的部分图象如图.则函数表达式为( ) A. y=-4sin B. y=-4sin C. y=4sin D. y=4sin 答案 B 例4．设关于x的方程cos2x+sin2x＝k+1在[0.]内有两不同根α.β.求α+β的值及k的取值范围．解:由cos2x+sin2x＝k+1得 2sin(2x+)＝k+1 即sin(2x+)＝设c: y＝sin(2x+).l: y＝.在同一坐标系中作出它们的图象(略) 由图易知当＜1时, 即0≤k＜1时直线l与曲线c有两个交点.且两交点的横坐标为α.β.从图象中还可以看出α.β关于x＝对称..故α+β＝变式训练4.已知函数f (x)＝sin(ωx+)(ω>0.0≤≤π)是R上的偶函数.其图象关于点M(π.0)对称.且在区间[0.]上是单调函数.求和ω的值．解:由f ＝f (x)即sin(-x+)＝sin(x+) ∴-cossinx＝cossinx对任意x都成立.且＞0. cos＝0 依题意设0≤≤π ∴＝由f(x)的图象关于点M对称. 得f(-x)＝-f (+x) 取x＝0得f ()＝-f () f ()＝0 ∴f()＝sin(+)＝cos＝0 又＞0得＝+kπ ＝当k＝0时.＝ f (x)＝sin()在[0.]上是减函数, 当k＝1时.＝2 f (x)＝sin(2x+)在[0.]上是减函数, 当k≥2时.≥ f (x)＝sin(x)在[0.]上不是减函数, ∴＝或＝2 小结归纳小结归纳【查看更多】

函数y＝Asin(ωx＋f)(A＞0,ω＞0,|f|＜)的图象如右图所示，则y的表达式为（）