2．函数y＝sinx的对称性与周期性的关系． ⑴ 若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b.则T＝． ⑵ 若相邻两对称点 .则T＝． ⑶ 若有一个对称点(a.0)和它相邻的一条对称轴x＝b.则T＝．注:该结论可以推广到其它任一函数．典型例题例1. 化简f (x)＝cos()+cos()+2sin(+2x)的值域和最小正周期．解: ＝2sin(ax+) 由于f最小正周期相同得＝即a＝2m 又f 即2sin(a+)＝2tan(m+) 把a＝2m代入得sin(2m+)＝tan(m+) ∴2sin(m+)cos(m+)＝ ∴sin(m+)＝0或cos(m+)＝± 当sin(m+)＝0时.m＝k-.这与0＜m＜1矛盾．当cos(m+)＝±时.m＝k+或m＝k-.现由0＜m＜1时得m＝故a＝ ∴f(x)＝2sin(x+).g(x)＝tan(x+) (2) 由2k-≤x+≤2k+得 x∈[12k-5.12k+1] ∴f(x)的单调递增区间为[12k-5.12k+1] 变式训练1:已知函数 , 的最小正周期, 取得最大值的x的集合．解:(1) ＝＝ ∴ 取最大值时.sin(2x-)＝1 有2x-＝2k+ 即x＝k+ 故所求x的集合为例2已知函数f (x)＝ ⑴ 求f (x)的定义域． ⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性． ⑶ 在[-π.π]上作出函数f (x)的图象． ⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．解:(1) 由1+cos2x＞0得2cos2x＞0 ∴cosx≠0即x≠kπ+. ∴函数f (x)的定义域为{x|x≠kπ+.k∈z|} (2)∵定义域关于原点对称.且对任意的定义域中x. f (-x)＝ ∴f (x)为奇函数. ＝又x∈[-π.π] 且x≠- ∴f(x)＝ f (x)的图象如右: 的最小正周期为2π． f (x)的单调递增区间是() 变式训练2:求下列函数的定义域: y=. 解 (1)要使函数有意义.必须使sin＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1. 方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-+2k＜x＜+2k,k∈Z}. 方法二利用单位圆中的余弦线OM.依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上. ∴其定义域为 . (2)要使函数有意义.必须使sinx-cosx≥0. 方法一利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象.如图所示. 在［0.2］内.满足sinx=cosx的x为..再结合正弦.余弦函数的周期是2, 所以定义域为. 方法二利用三角函数线. 如图MN为正弦线.OM为余弦线. 要使sinx≥cosx,即MN≥OM. 则≤x≤(在［0.2］内). ∴定义域为 . 方法三 sinx-cosx=sin≥0. 将x-视为一个整体.由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2k≤x-≤+2k, 解得2k+≤x≤+2k,k∈Z. 所以定义域为. 例3设函数..已知f的最小正周期相同.且2, 的解的式, 的单调递增区间．解:＝2cos2+sinx+b ＝ ∴递增区间为[2kπ-] ＝a+a+b＝而x∈[0.π].x+∈[] ∴sin(x+)∈[] ∴ ∴ 变式训练3:已知函数f (x)＝ ⑴ 求它的定义域和值域, ⑵ 求它的单调区间, ⑶ 判断它的奇偶性, ⑷ 判定它的周期性.如果是周期函数.求出它的最小正周期．解:(1) 由题意得:sinx-cosx＞0即sin(x-)＞0 从而得2kπ+＜x＜2kπ+π 函数的定义域为() ∵0＜sin(x-)≤1 ∴0＜sinx-cosx≤ 即≥＝-故函数f (x)的值域为[-.+∞] (2) ∵sinx-cosx＝sin(x-)在f(x)的定义域上的单调递增区间为().单调递减区间为[] 的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称． ∴f(x)是非奇非偶函数．＝[sin] ＝ ∴f (x)函数的最小正周期T＝2π 例4.已知函数y＝acosx+b的最大值为1.最小值是-3.试确定＝b sin(ax+)的单调区间．解:(1)若a＞0.则a+b＝1.-a+b＝-3. ∴ a＝2.b＝-1.此时.＝-sin(2x+) 单调增区间为[kπ+.kπ+] 单调减区间为[kπ-.kπ+] (2) 若a＜0.则-a+b＝1.a+b＝-3. ∴ a＝-2.b＝-1. 单调增区间为[kπ-.kπ+] 单调减区间为[kπ+.kπ+] 变式训练4:某港口水的深度y(米)是时间t的函数.记作y＝f(t).下面是某日水深的数据: t(时) 0 3 6 9 12 y(米) 10 13 9.9 7 10 t(时) 15 18 21 24 y(米) 13 10.1 7 10 经过长期观察.y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωx+b的图象． (1)试根据以上数据.求出函数y＝f(t)的近似表达式, (2)一般情况下.船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时.船底中需不碰海底即可).某船吃水深度为6.5米.如果希望该船在一天内安全进出港.请问.它至多在港里停留多长时间? 解:(1) 由已知数据.易知函数y＝f(t)的周期T＝12.振幅A＝3.b＝10 ∴y＝3sint＝10 (2) 由题意.该船进出港时.水深应不小于5+6.5＝11.5(米) ∴3sint+10≥11.5 sint≥ 解得2k+≤t≤2k+ 即12k+1≤t≤12k+5 k∈z 在同一天内.取k＝0或1． ∴1≤t≤5 或 13≤t≤17 ∴该船最早能在凌晨1时进港.最迟下午17时出港.在港内最多能停留16小时．小结归纳【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是

[　　]

A．

在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同

B．

介于直线y＝1与直线y＝－1之间

C．

关于x轴对称

D．

与y轴仅一个交点

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