2 利用函数与方程根的关系.写出二次函数的零点式 例3 设二次函数.方程的两个根满足. 当时.证明. 分析:在已知方程两根的情况下.根据函数与方程根的关系.可以写出函数的表达式.从而得到函数的表达式. 证明:由题意可知. , ∴ , ∴ 当时.. 又, ∴ , 综上可知.所给问题获证. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

单调递减;当单调递增,故当时,取最小值

于是对一切恒成立,当且仅当.        ①

时,单调递增;当时,单调递减.

故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.

综上所述,的取值集合为.

(Ⅱ)由题意知,

,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当

从而

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.

 

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