设．

　　

(1)求证：为定值；

(2)求面积的最值．

定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{c_n}的首项为2010，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8040，证明{c_n}是“三角形”数列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中数列{c_n}的“保三角形函数”，问数列{c_n}最多有多少项．
[理科]根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．

定义y=log_1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
（1）比较f（1，3）与f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，证明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）设g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C，曲线C在x₀处的切线斜率为k，若x₀∈（1，1-a），且存在实数b，使得k=-4，求实数a的取值范围．

定义：对于任意n∈N^*，满足条件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a_n称为T数列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），证明：数列a_n是T数列；
（2）设数列b_n的通项为bn=50n-(

3

2

)n，且数列b_n是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列cn=|

p

n

-1|（n∈N^*，p＞1），问数列b_n是否是T数列？请说明理由．

定义在D上的函数，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．
（1）试判断函数f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在实数集R上，函数g(x)=x3+

3

x

在[

1

3

，3]上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由．
（2）若已知某质点的运动距离S与时间t的关系为S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，要使在t∈[

1

3

，3]上每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于13，求实数a的取值范围．