记函数fn(x)=a•xn-1(a∈R，n∈N*)的导函数为

f

′ n

(x)，已知

f

′ 3

(2)=12．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）设函数gn(x)=fn(x)-n2Inx，试问：是否存在正整数n使得函数g_n（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若实数x₀和m（m＞0，且m≠1）满足：

f ′ n (x0)

f ′ n+1 (x0)

=

fn(m)

fn+1(m)

，试比较x₀与m的大小，并加以证明．

设定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）判断f（x）的奇偶性及单调性，并对f（x）的奇偶性结论给出证明；
（2）若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；
（3）解x的不等式

1

n

f(x2)-f(x)＞

1

n

f(ax)-f(a)（n是一个给定的正整数，a∈R）．

设定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）判断f（x）的奇偶性及单调性，并对f（x）的奇偶性结论给出证明；
（2）若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；
（3）解x的不等式

1

n

f(x2)-f(x)＞

1

n

f(ax)-f(a)（n是一个给定的正整数，a∈R）．

已知函数f（x）=x²+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[-

1

2

，1]时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；
（3）证明对任意的正整数n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{a_n}满足f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N^*，s≠t，使得点（t，a_s）、（s，a_t）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a_n＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a₁=f（0），不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．