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    例1. 2000年全国高考天津理科卷(13) x 0 1 2 p 某厂生产电子元件.其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意连续取出2件.其中次品数x 的概率分布是 解:大批产品中抽取产品.认为次品数x 服从二项分布B 空格中应填 0.9025, 0.095, 0.0025 考点:离散型随机变量的概率分布.二项分布 例2. 2001年全国高考天津理科卷(14) 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球.从中同时取出两个.则其中含红球个数的数学期望是 . 解1:同时取出的两个球中含红球数 x 的概率分布为 P(x = 0) ==, P(x = 1) ==, P(x = 2) == Ex ==, 空格中应填 解2:同时取出的两个球中含红球数 x 服从超几何分布.其数学期望为 n== 例3. 2002年全国高考天津文科卷(15) 甲.乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t / hm2) 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 . 提示:¯甲 = 1 5( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0.¯乙 = 1 5( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0; s 2甲 = 1 5( 9.82 + - + 10.22) – 102 = 0.02.s 2甲 = 1 5( 9.42 + - + 9.82) – 102 = 0.244 > 0.02 . 例4. 2003年全国高考江苏卷 天津文科卷 某公司生产三种型号的轿车.产量分别为1200辆.6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量.现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验.这三种型号的轿车依次应抽取 6 . 30 . 10 辆. 提示:1200 + 6000 + 2000 = 9200,46 : 9200 = 1 : 20, \ 1200 ´ 1 20 = 6.6000 ´ 1 20 = 30.2000 ´ 1 20 = 10. 例5. 抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案.现有100只外型相同的电路板.其中有40只A类版后60只B类板.问在下列两种情况中“从100只抽出3只.3只都是B类 的概率是多少? ⑴ 每次取出一只.测试后放回.然后再随机抽取下一只, ⑵ 每次取出一只.测试后不放回.在其余的电路板中.随意取下一只 解:⑴ 设“从100只中抽去3只.3只都是B类 为事件M.先求基本事件总数.由于每次抽去一只.测试后又放回.故每次都是从100只电路板中任取一只.这是重复排列.共有 个.再求M所包含的基本事件数.由于每次抽出后又放回.故是重复排列.共有 个.所以 ⑵ 由于取出后不放回.所以总的基本事件数为个.事件M的基本事件数为.所以 例6. 已知连续型随机变量ε的概率密度函数.且f(x) ≥0.求常数k的值.并计算概率P. 分析:凡是计算连续型随机变量ε的密度函数f(x)中的参数.概率P都需要通过求面积来转化而求得.若f(x) ≥0且在[a.b]上为线性.那么P的值等于以b-a为高.f为上.下底的直角梯形的面积.即. 解: ∵ ∴, 例7. 对划艇运动员甲.乙二人在相同的条件下进行了6次测试.测得他们最大速度的数据如下: 甲:27.38.30.37.35.31, 乙:33.29.38.34.28.36. 根据以上数据.试判断他们谁更优秀. 分析:根据统计知识可知.需要计算两组数据的与.然后加以比较.最后再作出判断. 解: . , . ∴.. 由此可以说明.甲.乙二人的最大速度的平均值相同.但乙比甲更稳定.故乙比甲更优秀. 说明:与作为总体方差的两个估计量.当样品容量不是很大时.更接近.故在实际运用时.我们常用去估计.但当容量较大时.与则没有什么差别. 例8．几何分布 某射击手击中目标的概率为P.求从射击开始到击中目标所需次数的期望.方差. 解: 1 2 3 -- -- 令 例9．设.且总体密度曲线的函数表达式为: .x∈R. 求及的值. 分析:根据表示正态曲线函数的结构特征.对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体与标准正态总体N(0.1)概率间的关系.将一般正态总体划归为标准正态总体来解决. 解: (1)由于.根据一般正态分布的函数表达形式.可知μ=1..故X-N(1.2). (2) . 又 . 说明:在解决数学问题的过程中.将未知的.不熟悉的问题转化为已知的.熟悉的.已解决了的问题.是我们常用的手段与思考问题的出发点.通过本例我们还可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联. 例10．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的.如果某地成年男子的身高ε-N.问车门应设计多高? 分析:由题意可知.求的是车门的最低高度.可设其为xcm.使其总体在不低于x的概率小于1%. 解:设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm.由题意.需使P<1%. ∵ε-N.∴.查表得.解得x>179.16.即公共汽车门的高度至少应设计为180cm.可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞. 说明:解决本题的关键是在正确理解题意的基础上.找出正确的数学表达式,而逆向思维和逆向查表.体现解决问题时思维的灵活性. 例11．已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据: 年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 x(kg) 92 108 115 123 130 138 145 y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 (1)求x与y之间的相关系数.并检验是否线性相关, (2)若线性相关.求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程.并估计每单位面积施肥150kg时.每单位面积蔬菜的年平均产量. 分析:(1)使用样本相关系数计算公式来完成,(2)查表得出显著性水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界比较.若则线性相关.否则不线性相关. 解:(1)列出下表.并用科学计算器进行有关计算:] i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 74 80 78 85 92 90 95 92 108 115 123 130 138 145 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1140 1058 1188 1357 1500.6 1625 1766.4 1885 .. ...故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数 . 由于n=15.故自由度15-2=13.由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值.则.从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系. (2)设所求的回归直线方程为.则. . ∴回归直线方程为. 说明:求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大.需要细心.谨慎地计算.如果会使用含统计的科学计算器.能简单得到....这些量.也就无需有制表这一步.直接算出结果就行了.另外.利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理. 例12.设随机变量ε服从N(0.1).求下列各式的值: PP. 分析:一个随机变量若服从标准正态分布.可以借助于标准正态分布表.查出其值.但在标准正态分布表中只给出了.即的情形.对于其它情形一般用公式:φ,p- φ(a)及等来转化. 解:(1) (2) , (3) 说明:从本题可知.在标准正态分布表中只要给出了的概率.就可以利用上述三个公式求出其它情形下的概率. 例13．某厂生产的圆柱形零件的外径ε-N.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件.测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格? 分析:欲判定这批零件是否合格.由假设检验基本思想可知.关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在内.还是在之外. 解:由于圆柱形零件的外径ε-N.由正态分布的特征可知.正态分布N在区间即之外取值的概率只有0.003.而.这说明在一次试验中.出现了几乎不可能发生的小概率事件.根据统计中假设检验的基本思想.认为该厂这批产品是不合格的. 说明:判断某批产品是否合格.主要运用统计中假设检验的基本思想. 例14．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y.有如下的统计资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求: (1)线性回归方程, (2)估计使用年限为10年时.维修费用是多少? 分析:本题为了降低难度.告诉了y与x间呈线性相关关系.目的是训练公式的使用. 解:(1)列表如下: i 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 4 9 16 25 36 . . 于是. . ∴线性回归方程为:. (2)当x=10时. 即估计使用10年时维修费用是12.38万元. 说明:本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的.应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系.或者说它们之间相关关系不显著时.即使求出回归方程也是没有意义的.而且其估计与预测也是不可信的. 例15. (2003年全国高考辽宁卷 A.B两个代表队进行乒乓球对抗赛.每队三名队员.A队队员是A1.A2.A3.B队队员是B1.B2.B3 .按以往多次比赛的统计.对阵队员之间胜负概率如下: 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 2 3 1 3 A2对B2 2 5 3 5 A3对B3 2 5 3 5 现按表中对阵方式出场, 每场胜队得1分, 负队得0分.设A队.B队最后总分分别为 x.h. (Ⅰ) 求 x.h 的概率分布, (Ⅱ) 求Ex.Eh. 分析:本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解:(Ⅰ) x.h 的可能取值分别为3, 2, 1, 0. P(x = 3) = P(x = 2) = P(x = 1) = P(x = 0) = 根据题意知 x + h = 3.所以 P(h = 0) = P(x = 3) = 8 75. P(h = 1) = P(x = 2) = 28 75. P(h = 2) = P(x = 1) = 2 5. P(h = 3) = P(x = 0) = 3 25 . (Ⅱ) Ex = , 因为x + h = 3. 所以Eh = 3 – Ex =. 【查看更多】

     

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