已知S_n是数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，a₂=3，a_n+2=2a_n+1-a_n+2（n=1，2，…），则S_n=    ．

已知S_n是数列{a_n }的前n项和，S_n满足关系式2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2，a1=

1

2

（n≥2，n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n }是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于数列{u_n}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M成立，称数列{u_n} 为“差绝对和有界数列”，
证明：数列{a_n}为“差绝对和有界数列”；
（3）根据（2）“差绝对和有界数列”的定义，当数列{c_n}为“差绝对和有界数列”时，
证明：数列{c_n•a_n}也是“差绝对和有界数列”．

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，S_n满足关系式2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2，a1=

1

2

（n≥2，n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于数列{u_n}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…|u₂-u₁|≤M成立，称数列{u_n}为“差绝对和有界数列”，证明：数列{a_n}为“差绝对和有界数列”．

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_n=S_n-1+2（n≥2），a₁=2.

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设b_n=,T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n,是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n,有T_n＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.