已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，g(x)=-

a

4

x+

3

2

．（a∈R）
（I）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若任意给定的x₀∈[0，2]，在[0，2]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

已知函数f（x）=λx²+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．
（1）当λ=-1时，求函数g（x）的最大值；
（2）求函数h（x）的单调区间；
（3）设函数φ(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0.

若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求实数λ的取值范围．

已知函数f（x）=

1

a-x

-1（其中a为常数，x≠a）．利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（Ⅰ）当a=1且x₁=-1时，求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．