题目列表(包括答案和解析)
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-)
③y=f(x)的图象关于点(-,0)对称
④y=f(x)的图象关于直线x=-对称
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若数列{an}满足a1=,an+1=f(an),bn=-1,n∈N*,证明数列{bn}是等比数列,并求出{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,证明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=-1, ∴===,
∴{bn}为等比数列,q=.又∵a1=,∴b1=-1=,
bn=b1qn-1=n-1=n(n∈N*).……………………………9分
(3)证明:∵anbn=an=1-an=1-=,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=++…+<++…+
==1-<1(n∈N*).
① 直线y=kx+1与椭圆总有两个交点;
② f(x)=2sin(3x-)的图像可由f(x)=2sin3x按向量a=(-,0)平移得到;
③ 在R上连续的函数f(x)若是增函数,则对于任意x0∈ R,均有(x0)>0成立;
④ 抛物线x=ay2(a≠0)的焦点坐标是(,0);
以上4个命题中,真命题是____________(写出所有真命题的编号).
(本题12分)
已知M= (1+cos2x,1),N=(1,sin2x+a)(x,a∈R,a是常数),且y=· (O是坐标原点)
⑴求y关于x的函数关系式y=f(x);
⑵若x∈[0,],f(x)的最大值为4,求a的值,并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到
①在区间[,]上是减函数;
②直线x=是函数图象的一条对称轴;
③函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移而得到;
④若x∈[0,],则f(x)的值域是[0,].
其中正确命题的序号是( )
A.①③ B.①② C.③④ D.①④
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