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    单向约束解除的可能性 如果约束对物体的限制是单侧的.即它只限制物体不得从某一侧脱离约束.但却允许物体从另一侧脱离.在这类约束中.约束反力也是单侧的.对于这种单侧约束.应当注意约束解除的可能性.如在例1中.θ角在0°-90°的范围内是不会解除约束的.当其α角足够大.小球摆动.使θ角＞90°.才可能向内作抛体运动.即约束解除有可能.如θ=180°.而小球仍没有离开圆周.则以后再也不可能离开圆周了.所以约束解除的范围只能在90°＜θ＜180°.如果α角大到可以使小球能以A为圆心.L-r为半径作圆周运动.则小球的单向约束将不能被解除. 约束解除问题也称临界值问题.在具体问题中.何时解除约束.往往不能预先知道.为了找出约束解除的时刻即临界值状态.常用的方法是:先假定物体不脱离约束.将假设的约束反力代入牛顿运动方程中求解.解出约束反力的表达式后.令其约束反力等于零.由此可求出相应的时刻. [例4]一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上.其轴线沿竖直方向.母线与轴线之间的夹角为30°.一条长度为L的绳一端固定在圆锥体的顶点A处.另一端系着一质量为m的小物体.物体以速度v绕着圆锥体的轴线作水平匀速圆周运动(物体和绳在附图中都没画出).求 运动的.物体不仅受绳的力.而且同时受到锥面的力.受力如图11所示.沿圆周运动的法向和切向建立直角坐标系. 根据牛顿运动定律的方程得 Nsin30°+Tcos30°=mg (2) 解得 N为正值说明N的方向与假设相符合. (2)当N=0时.斜面对物体的约束解除物体处于临界状态.设此时速度为v0. 那么 Tcos30°=mg(2) 解得 面做圆锥摆运动.设绳与竖直夹角为α.受力如图12所示.那么 解得 T'=2mg α= 45° 本题中.无论v为何值.绳子的约束是不能解除的.下面两例也是临界问题 [例5]光滑的斜面上用绳拴一质量为m的小球.如图13所示.当斜求绳上张力分别是多大? [解析]当加速度较小时.小球是压在斜面上的.小球受重力G.支持力N和张力T三个力的作用.受力如图14所示.当加速度很大时.小球将飘离斜面.此时小球只受重力G和张力T'的作用.受力如图15所示.为准确判断是属于哪一种情况.必须以小球压在斜面上还是飘离斜面为界.求出其制约参量加速度的临界值a0.当a＜a0时.小球压在斜面上.且有支持力存在.当a＞a0时.小球飘离斜面.当然也就没有支持力存在了.因此解这类问题时.可以先求出临界加速度 小球将要飘离斜面时.N=0.但绳子与斜面仍然平行.受力如图15所示.其运动方程为 Tcos45°=ma0 (1) Tsin45°=mg (2) 联立式解出a0=g 此时小球受力如图14所示.其运动方程为 Tsin45°+Ncos45°=mg(4) 力如图15所示.此时绳与斜面已不再平行.设这时绳与水平方向的夹角为α.其运动方程为 T′sinα= mg(6) [例6]一支圆柱形的玻璃管.质量为20g.密度为2g/cm3.高12cm.容积为20cm3.它的一端封闭.一端开口.现将其开口端竖直向下压入水中.在下压过程中管内的空气不跑出.且温度保持不变.求.当将管口压入水中H1=4m和H2=14m深处时.放手后管将如何运动? [解析]设管口压入某一深度H0时.放手后管处于平衡状态.这时管内空气的体积为V2.管内液面与管口的距离为h2.与水面的距离为h1.如图16所示.设玻璃管的体积为V3.以系统为对象.由平衡条件: mg=(V3+V2)ρ水g (1) 代入(1)式解得 V2=10g/cm3 再以管内封闭的空气为研究对象.取压入水中前为状态1.玻璃管平衡时为状态2.由玻意耳定律有: P1V1=P2V2 (2) ∵P2=P1+P水 P水=P2-P1=1×105(Pa) ∴P水=ρ水gh1 h1=10(m) 这是一种不稳定平衡.当压入的深度H1=4m＜H0时.浮力大于重力.玻璃管将会变加速上浮,当H2=14m＞H0时.浮力小于重力.玻璃管将变加速下沉.H0是以玻璃管上浮或下沉为界时制约参量水的深度的临界值. [例7]如图17所示.一质量为m的小球.带正电荷Q.固定在绝缘细绳oA的B点.oB = r.A端套在以o为圆心.R为半径的光滑圆环上.整个系统同处在光滑绝缘的水平面上.且平面所在的区域具有强度为B方向竖直向上的匀强磁场.当A.B绕o以匀角速ω在水平面上顺时针旋转时.试讨论AB和oB两段绳的张力大小和方向. [解析]设当ω=0时.两段绳刚好伸直且张力都为零.而且绳子只能有张力不可能有压力.小球在作圆周运动时.可能受到任一段绳子的张力.令这个张力为T.规定沿半径指向圆心的为正.小球受到的洛仑兹力FB= BQv = BQωr.它的方向总是沿半径指向圆心的.T与FB的合力就是小球作圆周运动的向心力.其运动方程为 T+FB=mω2r ∴T=mω2r-BQωr 当ω＞ω0时.小球受到oB绳指向o的张力.AB段不受力,当ω＜ω0时.小球受到AB绳沿半径向外的张力.oB段不受力.可见.以两段绳子哪段受力为界.ω0是制约参量的临界角速度. 【查看更多】

     

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