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    (本小题满分10)抛物线与过点M的直线交于A,B两点.O为原点,OA和OB的斜率之和为1.求直线的方程. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2013•宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的 垂直平分线，若AB=6，CD=2
    		5
    ，求线段AC的长度．
    B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    已知矩阵M=
    21
    1a
    的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程．
    C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
    在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是
    x=cosα
    y=sinα+1
    （α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
    D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
    已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．

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    （本小题满分10分）等体积的球和正方体，试比较它们表面积的大小关系．

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    必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
    已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．
    （Ⅰ）求an；
    （Ⅱ）是否存在等差数列{bn}，使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

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    本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
    若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    （1）、选修4-1：几何证明选讲
    如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
    （2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    若点A（2，2）在矩阵M=
    cosα-sinα
    sinαcosα
    对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
    （3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
    （4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
    已知a1，a2…an都是正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．

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    （选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．[选修4-1：几何证明选讲]
    已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
    求证：AD的延长线平分∠CDE
    B．[选修4-2：矩阵与变换]
    已知矩阵A=
    12
    -14

    （1）求A的逆矩阵A-1；
    （2）求A的特征值和特征向量．
    C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
    已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=
    1
    2
    t
    y=
    		3
    2
    t+1
    （t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
    D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
    设a，b，c均为正实数，求证：
    1
    2a
    +
    1
    2b
    +
    1
    2c
    ≥
    1
    b+c
    +
    1
    c+a
    +
    1
    a+b
    ．

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    YC一、选择题：CDBBA，  CBDDB，  DB 

    二、填空题：13． ；  14．3   15．76   16．（1，e）；e

    三、解答题：

    17．解：（1）f‘（x）=-3x2+6x+9                        …………2分

       令 f‘（x）<0，解得x<-1或x>3。                   …………4分

       *函数f（x）的单调递减区间为（-。   …………5分

    （2）f（－2）=2+a ，     f（2）=22+a

      f（2）>f（―2）

    在（―1，3）上f‘（x）>0    f（x）在[―1，2]上单调递增。

    又f（x）在[―2，1]上单调递减。              …………8分

    ∴f2）和f（-1）分别是f（x）在[―2，2]上的最大值和最小值。

    于是有  22+a=20 ， 解得a=-2

    故f（x）=―x3+3x2+9x-2                        …………10分

     

    ∴f（-1）=-7

    即f（x）在[―2，2]上的最小值为-7 。         …………12分

    18. 用表示一天之内第个部件需要调整的事件，，则，                ……………………1分

        以表示一天之内需要调整的部件数，则

      （Ⅰ）……4分

      （Ⅱ）………7分

      （Ⅲ）              ……………………8分

        …………9分

                         ……………………10分

    的分布列为

    0

    1

    2

    3

    p

    0.504

    0.398

    0.092

    0.006

      …………12分

    19．（本小题满分12分）

    解: (I)法一：取CC1的中点F, 连接AF, BF, 则AF∥C1D．

    ∠BAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角．……(1分)

    ∵△ABC为等腰直角三角形,

    AC＝2, ∴AB＝2．又∵CC1＝2, ∴AF＝BF＝．

    ∵∴

    ∴即异面直线AB与C1D所成的角为(4分)

    法二：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，2，0），B（2，0，0），C1（0，0，2），D（0，2，1），∴=（2，－2，0），=（0，2，－1）.

    由于异面直线AB与C1D所成的角为向量与的夹角或其补角.……（1分）

    设与的夹角为θ，

    ，即异面直线AB与C1D

    所成的角为…………（4分）

     

     

     

     

     

     

     

     

    在三棱锥D―B1C1E中，

    点C1到平面DB1E的距离为，

    B1E＝, DE＝, 又B1E⊥DE,

    ∴△DB1E的面积为

    ∴三棱锥C1―DB1E的体积为1．

    …………(10分)

    设点D到平面的距离为d,

    在△中, B1C1＝2, B1E＝C1E＝,

    ∴△B1C1E的面积为．

    由得, 即点D到平面的距离为．………(12分)

     

    20．解：（I）由已知得：a2=  ，a3=   a4= 。        …………4分

    （2）猜想a=。                                 …………6分

    下面用数学归纳法证明：略。                             …………12分

    21．本小题满分14分

        解：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d)，再乘公交车去学校，所用的时间为t，则.……3分

            令……………………………………………………5分

            且当…………………………………………………6分

            当……………………………………………………7分

            当时，所用的时间最短，最短时间为：

    .………………………………9分

    答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.

    （II）由（I）的讨论可知，当d=上的减函数，所以当时，

    即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短.……………………12分

    最短的时间为………………………………………………14分

    答：当时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.

    22．（1），由已知在[0，1]上大于等于0，在[1，2]上小于等于0.∴x=1为极大值点，

          …………4分

       （2）由，有三个相异实根，

    且                       …………8分

       （3）在[1，2]上为减函数，∴最大值为，∴只有上恒成立即可

    恒成立，又，

    的最大值为－2，                    …………12分

     

     

     


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