15．某城市在中心广场建造一个花圃.花圃分为6个部分．现要栽种4种不同颜色的花.每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花．不同的栽种方法有种． [分析] 本题以花圃设计为应用背景.主要——青夏教育精英家教网—

15．某城市在中心广场建造一个花圃.花圃分为6个部分．现要栽种4种不同颜色的花.每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花．不同的栽种方法有种． [分析] 本题以花圃设计为应用背景.主要考查排列.组合的基础知识.侧重考查乘法原理和加法原理的应用.以及逻辑思维能力和计数能力．为了正确解答本题.首先必须准确理解题意:抓住花圃布局的要求.看清图形中6个部分的关系,明确每个部分只种同一种颜色的花.相邻部分应种不同颜色的花,而且4种颜色的花都要种上.缺一不可．对这些条件要求.稍有疏忽.遗漏或曲解.都会引致解答出错．其次.应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序.关键是推算过程中分步.分类的安排要合理且严密,此外.在每一分步或分类中.计数不出错,最后.乘法原理和加法原理的运用.以及数值计算还得无误.方能得出正确的答数．采用不同的计数模式和计数程序.伴随出现不同的解法.列举解法供参考．解法1 将6个区域分4组.不同组栽种不同颜色的花.同一组栽种同一颜色的花．因为区域1与其它5个区域都有公共边.所以为了栽种方案合乎题意.分在同一组的区域至多只能有2个．因而.由图形可知,不同分组法有且只有5类.如下表: 第一组第二组第三组第四组第一类 1 2 3.5 4.6 第二类 1 2.5 3.6 4 第三类 1 2.5 3 4.6 第四类 1 2.4 3.5 6 第五类 1 2.4 3.6 5 每一类分组法.都有种不同的栽种方法．应用加法原理.得到所有符合题意的不同栽种方法的种数为解法2 按区域的顺序.依次安排各区域所栽种的花的颜色: 第1区.可种4色花中的任一种.有4种不同的栽种法, 接着.第2区.因与第1区相邻.两区花色必须不同.所以.第2区只能从3色花中任选一种栽种.有3种不同种法, 跟着.第3区.因与第1.2区都有边界.所以.只有2种不同栽种法, 随后.第4区.与2区无边界.与1.3区都有边界．因此.可分两类情形: 第一类:在第4区中栽种与第2区同一色的花.有1种栽法,至此.只栽种了3种不同颜色的花.因此.第5.6区域.应有一个区域栽种第4种颜色的花.而另一区域可选的花色只有1种(这是因为与之相邻的三个区域.已种上不同颜色的3种花)．从而.在第5.6区域栽花的不同方式有2种, 第二类:在第4区域中栽种与第2区域不同颜色的花.有1种栽法,不过.与第一类不同的是:至此.4种不同颜色的花都被栽种了．往后.第5区域栽花有两种选择:一种是栽与第2区域同色花.紧接着.第6区域有2种栽种方法,第五区域另一种栽花法.是栽种与第2区域不同颜色的花.只有1种选择(因为它不能与1.4区域同色).紧接着.由于1.2.5三个区域已栽种3种不同颜色的花.故第6区域只有1种栽花的选择．综合起来.应用乘法原理和加法原理.得合乎题意的不同栽花的方法种数为 N=4×3×2× =120 解法3 因为区域1与其它5个区域都有公共边.所以当区域1栽种一种颜色的花之后.该颜色的花就不能栽于其它区域．因而可分两步走.考虑如下: 第一步.在区域1中.栽上一种颜色的花.有4种栽法, 第二步.在剩下的五个区域中.栽种其它三种颜色的花．为此.可将2至6号五个区域分成3组.使同一组中的不同区域没有公共边．这样的分组法有且只有5类.如下表: 第一组第二组第三组第一类 2 3.5 4.6 第二类 2.4 3.5 6 第三类 2.4 3.6 5 第四类 2.5 3.6 4 第五类 2.5 3 4.6 对每一类分得的3个组.将3种颜色的花分别栽于各组.共有种栽法．应用乘法原理和加法原理.得合乎题意要求的不同栽种方法的种数为解法4 由于第1.2.3区两两都有边界.所以这3个区所栽的花.彼此必须不同颜色．因而.第一步可从4种颜色的花任取3种分别栽在这3个区域上.共有种栽法．其次将另一颜色的花栽于4.5.6三个区中的一个区或两个区.即分为两类情形: 第一类:栽在4.5.6的一个区域中.有3种情形: 情形1:栽于4区.则6区只有一种颜色的花可栽(因为必须不同于4.1.2区的颜色).进而.5区周边三个区域已栽上3种不同颜色的花.故5区也只有一种颜色的花可栽, 情形2:栽于6区.则与情形1同理.4.5区域分别只有1种颜色可栽, 情形3:栽于5区.由于5.1.2三个区已栽上不同颜色的花.6区只有1种栽法,同理.4区也只有1种栽法．第二类:栽于4.5.6中的两个区.只有栽于4.6两个区域的一种情形.这时5区有2种栽法(因为5区的周边只有两色花)．综合起来.应用乘法原理与加法原理.得不同栽种方法的种数为解法5 分两类情况考虑: 第1类:第1.2.3.5等四个区域栽种不同颜色的4种花.共有种栽法．对于每一种栽法.第4.6区分别都只有1种颜色的花可栽．第2类:第1.2.3.5等四个区域栽种不同颜色的3种花.共有种栽法．对于每一种栽法.要么2.5区栽同色花.要么3.5区栽同色花．对于前者.第6区有2种颜色的花可供选栽.第4区只能栽第4种颜色的花,对于后者.第4区有2种颜色的花可供选栽.第6区只能栽第4种颜色的花．即无论何种情形.第4.6区的栽法都是2种．综合上述情形.应用加法原理与乘法原理.得不同栽种方法的种数为 [答案] 120 【查看更多】

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