8.弹簧振子模型:F=-Kx (X.F.a.v.A.T.f.EK.EP等量的变化规律)水平型 竖直型 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

A.选修3-3
(1)有以下说法:其中正确的是
AEF
AEF

A.“用油膜法估测分子的大小”实验中油酸分子直径等于纯油酸体积除以相应油酸膜的面积
B.理想气体在体积不变的情况下,压强p与热力学温度T成正比
C.气体分子的平均动能越大,气体的压强就越大
D.物理性质各向同性的一定是非晶体
E.液体的表面张力是由于液体分子间的相互作用引起的
F.控制液面上方饱和汽的体积不变,升高温度,则达到动态平衡后该饱和汽的质量增大,密度增大,压强也增大
G.让一小球沿碗的圆弧型内壁来回滚动,小球的运动是可逆过程
(2)如图甲所示,用面积为S的活塞在汽缸内封闭着一定质量的空气,活塞上放一砝码,活塞和砝码的总质量为m,现对汽缸缓缓加热使汽缸内的空气温度从TI升高到T2,且空气柱的高度增加了△l,已知加热时气体吸收的热量为Q,外界大气压强为p0,问此过程中被封闭气体的内能变化了多少?请在下面的图乙的V-T图上大致作出该过程的图象(包括在图象上标出过程的方向).
(3)一只气球内气体的体积为2L,密度为3kg/m3,平均摩尔质量为15g/mol,阿伏加德罗常数NA=6.02×1023mol-1,试估算这个气球内气体的分子个数.
B.(选修模块3-4)
(1)下列说法中正确的是
BD
BD

A.交通警通过发射超声波测量车速,利用了波的干涉原理
B.电磁波的频率越高,它所能携带的信息量就越大,所以激光可以比无线电波传递更多的信息
C.单缝衍射中,缝越宽,条纹越亮,衍射现象也越明显
D.地面上测得静止的直杆长为L,则在沿杆方向高速飞行火箭中的人测得杆长应小于L
(2)如图所示,一弹簧振子在MN间沿光滑水平杆做简谐运动,坐标原点O为平衡位置,MN=8cm.从小球经过图中N点时开始计时,到第一次经过O点的时间为0.2s,则小球的振动周期为
0.8
0.8
s,振动方程的表达式为x=
4cos
5πt
2
4cos
5πt
2
cm;
(3)一列简谐横波在t=0时刻的波形如图所示,质点P此时刻沿-y运动,经过0.1s第一次到达平衡位置,波速为5m/s,那么:
①该波沿
-x
-x
(选填“+x”或“-x”)方向传播;
②图中Q点(坐标为x=7.5m的点)的振动方程y=
5cos
5πt
3
5cos
5πt
3
cm;
③P点的横坐标为x=
2.5
2.5
m.
C.选修3-5
(1)下列说法中正确的是
BC
BC

A.X射线是处于激发态的原子核辐射出的方向与线圈中电流流向相同k
B.一群处于n=3能级激发态的氢原子,自发跃迁时能发出3种不同频率的光
C.放射性元素发生一次β衰变,原子序数增加1
D.235U的半衰期约为7亿年,随地球环境的变化,半衰期可能变短
(2)下列叙述中不符合物理学史的是
BCD
BCD

A.麦克斯韦提出了光的电磁说
B.爱因斯坦为解释光的干涉现象提出了光子说
C.汤姆生发现了电子,并首先提出原子的核式结构模型
D.贝克勒尔通过对天然放射性的研究,发现了放射性元素钋(Pa)和镭(Ra)
(3)两磁铁各固定放在一辆小车上,小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动.已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg,乙车和磁铁的总质量为1.0kg.两磁铁的N极相对.推动一下,使两车相向运动.某时刻甲的速率为2m/s,乙的速率为3m/s,方向与甲相反.两车运动过程中始终未相碰,则两车最近时,乙的速度为多大?

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(20分)惰性气体分子为单原子分子,在自由原子情形下,其电子电荷分布是球对称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近,则彼此能因静电作用产生极化(正负电荷中心不重合),从而导致有相互作用力,这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。

当负电中心与原子核不重合时,若以x表示负电中心相对正电荷(原子核)的位移,当x为正时,负电中心在正电荷的右侧,当x为负时,负电中心在正电荷的左侧,如图1所示。这时,原子核的正电荷对荷外负电荷的作用力f相当于一个劲度系数为k的弹簧的弹性力,即f=-kx,力的方向指向原子核,核外负电荷的质量全部集中在负电中心,此原子可用一弹簧振子来模拟。

今有两个相同的惰性气体原子,它们的原子核固定,相距为R,原子核正电荷的电荷量为q,核外负电荷的质量为m。因原子间的静电相互作用,负电中心相对各自原子核的位移分别为x1x2,且|x1|和|x2|都远小于R,如图2所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外,还受到另一原子的正、负电荷的作用。

众所周知,孤立谐振子的能量E=mv2+kx2是守恒的,式中v为质量m的振子运动的速度,x为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明,在绝对零度时,谐振子的能量为,称为零点振动能,h为普朗克常量,为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量,与两个相距足够远的(可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的)惰性气体原子的能量差,并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当|x|<<1时的近似式≈1+xx2,(1+x)-1≈1-x+x2

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A.选修3-3
(1)有以下说法:其中正确的是______.
A.“用油膜法估测分子的大小”实验中油酸分子直径等于纯油酸体积除以相应油酸膜的面积
B.理想气体在体积不变的情况下,压强p与热力学温度T成正比
C.气体分子的平均动能越大,气体的压强就越大
D.物理性质各向同性的一定是非晶体
E.液体的表面张力是由于液体分子间的相互作用引起的
F.控制液面上方饱和汽的体积不变,升高温度,则达到动态平衡后该饱和汽的质量增大,密度增大,压强也增大
G.让一小球沿碗的圆弧型内壁来回滚动,小球的运动是可逆过程
(2)如图甲所示,用面积为S的活塞在汽缸内封闭着一定质量的空气,活塞上放一砝码,活塞和砝码的总质量为m,现对汽缸缓缓加热使汽缸内的空气温度从TI升高到T2,且空气柱的高度增加了△l,已知加热时气体吸收的热量为Q,外界大气压强为p,问此过程中被封闭气体的内能变化了多少?请在下面的图乙的V-T图上大致作出该过程的图象(包括在图象上标出过程的方向).
(3)一只气球内气体的体积为2L,密度为3kg/m3,平均摩尔质量为15g/mol,阿伏加德罗常数NA=6.02×1023mol-1,试估算这个气球内气体的分子个数.
B.(选修模块3-4)
(1)下列说法中正确的是______
A.交通警通过发射超声波测量车速,利用了波的干涉原理
B.电磁波的频率越高,它所能携带的信息量就越大,所以激光可以比无线电波传递更多的信息
C.单缝衍射中,缝越宽,条纹越亮,衍射现象也越明显
D.地面上测得静止的直杆长为L,则在沿杆方向高速飞行火箭中的人测得杆长应小于L
(2)如图所示,一弹簧振子在MN间沿光滑水平杆做简谐运动,坐标原点O为平衡位置,MN=8cm.从小球经过图中N点时开始计时,到第一次经过O点的时间为0.2s,则小球的振动周期为______s,振动方程的表达式为x=______cm;
(3)一列简谐横波在t=0时刻的波形如图所示,质点P此时刻沿-y运动,经过0.1s第一次到达平衡位置,波速为5m/s,那么:
①该波沿______(选填“+x”或“-x”)方向传播;
②图中Q点(坐标为x=7.5m的点)的振动方程y=______cm;
③P点的横坐标为x=______m.
C.选修3-5
(1)下列说法中正确的是______
A.X射线是处于激发态的原子核辐射出的方向与线圈中电流流向相同k
B.一群处于n=3能级激发态的氢原子,自发跃迁时能发出3种不同频率的光
C.放射性元素发生一次β衰变,原子序数增加1
D.235U的半衰期约为7亿年,随地球环境的变化,半衰期可能变短
(2)下列叙述中不符合物理学史的是______
A.麦克斯韦提出了光的电磁说
B.爱因斯坦为解释光的干涉现象提出了光子说
C.汤姆生发现了电子,并首先提出原子的核式结构模型
D.贝克勒尔通过对天然放射性的研究,发现了放射性元素钋(Pa)和镭(Ra)
(3)两磁铁各固定放在一辆小车上,小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动.已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg,乙车和磁铁的总质量为1.0kg.两磁铁的N极相对.推动一下,使两车相向运动.某时刻甲的速率为2m/s,乙的速率为3m/s,方向与甲相反.两车运动过程中始终未相碰,则两车最近时,乙的速度为多大?

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第六部分 振动和波

第一讲 基本知识介绍

《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同,必须做一些相对详细的补充。

一、简谐运动

1、简谐运动定义:= -k             

凡是所受合力和位移满足①式的质点,均可称之为谐振子,如弹簧振子、小角度单摆等。

谐振子的加速度:= -

2、简谐运动的方程

回避高等数学工具,我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动(以下均看在x方向的投影),圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。

依据:x = -mω2Acosθ= -mω2

对于一个给定的匀速圆周运动,m、ω是恒定不变的,可以令:

2 = k 

这样,以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以,x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图1不难得出——

位移方程: = Acos(ωt + φ)                                        ②

速度方程: = -ωAsin(ωt +φ)                                     ③

加速度方程:= -ω2A cos(ωt +φ)                                   ④

相关名词:(ωt +φ)称相位,φ称初相。

运动学参量的相互关系:= -ω2

A = 

tgφ= -

3、简谐运动的合成

a、同方向、同频率振动合成。两个振动x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成,可令合振动x = Acos(ωt +φ) ,由于x = x1 + x2 ,解得

A =  ,φ= arctg 

显然,当φ2-φ1 = 2kπ时(k = 0,±1,±2,…),合振幅A最大,当φ2-φ1 = (2k + 1)π时(k = 0,±1,±2,…),合振幅最小。

b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)时,这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程,消去参数t后,得一般形式的轨迹方程为

+-2cos(φ2-φ1) = sin22-φ1)

显然,当φ2-φ1 = 2kπ时(k = 0,±1,±2,…),有y = x ,轨迹为直线,合运动仍为简谐运动;

当φ2-φ1 = (2k + 1)π时(k = 0,±1,±2,…),有+= 1 ,轨迹为椭圆,合运动不再是简谐运动;

当φ2-φ1取其它值,轨迹将更为复杂,称“李萨如图形”,不是简谐运动。

c、同方向、同振幅、频率相近的振动合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ,由于合运动x = x1 + x2 ,得:x =(2Acost)cos(t +φ)。合运动是振动,但不是简谐运动,称为角频率为的“拍”现象。

4、简谐运动的周期

由②式得:ω=  ,而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的,所以

T = 2π                                                      

5、简谐运动的能量

一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成,即

mv2 + kx2 = kA2

注意:振子的势能是由(回复力系数)k和(相对平衡位置位移)x决定的一个抽象的概念,而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后,其它的具体势能不能再做重复计量。

6、阻尼振动、受迫振动和共振

和高考要求基本相同。

二、机械波

1、波的产生和传播

产生的过程和条件;传播的性质,相关参量(决定参量的物理因素)

2、机械波的描述

a、波动图象。和振动图象的联系

b、波动方程

如果一列简谐波沿x方向传播,振源的振动方程为y = Acos(ωt + φ),波的传播速度为v ,那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是

y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω(t - )+ φ〕

这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t ,都有一个y(x)的正弦函数,在x-y坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以,称y = Acos〔ω(t - )+ φ〕为波动方程。

3、波的干涉

a、波的叠加。几列波在同一介质种传播时,能独立的维持它们的各自形态传播,在相遇的区域则遵从矢量叠加(包括位移、速度和加速度的叠加)。

b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时,在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态:振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。

我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如图2所示,我们用S1和S2表示两个波源,P表示空间任意一点。

当振源的振动方向相同时,令振源S1的振动方程为y1 = A1cosωt ,振源S1的振动方程为y2 = A2cosωt ,则在空间P点(距S1为r1 ,距S2为r2),两振源引起的分振动分别是

y1′= A1cos〔ω(t ? )〕

y2′= A2cos〔ω(t ? )〕

P点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题(φ1 =  ,φ2 = ),且初相差Δφ= (r2 – r1)。根据前面已经做过的讨论,有

r2 ? r1 = kλ时(k = 0,±1,±2,…),P点振动加强,振幅为A1 + A2 

r2 ? r1 =(2k ? 1)时(k = 0,±1,±2,…),P点振动削弱,振幅为│A1-A2│。

4、波的反射、折射和衍射

知识点和高考要求相同。

5、多普勒效应

当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时,接收者会发现波的频率发生变化。多普勒效应的定量讨论可以分为以下三种情况(在讨论中注意:波源的发波频率f和波相对介质的传播速度v是恒定不变的)——

a、只有接收者相对介质运动(如图3所示)

设接收者以速度v1正对静止的波源运动。

如果接收者静止在A点,他单位时间接收的波的个数为f ,

当他迎着波源运动时,设其在单位时间到达B点,则= v1 ,、

在从A运动到B的过程中,接收者事实上“提前”多接收到了n个波

n = 

显然,在单位时间内,接收者接收到的总的波的数目为:f + n = f ,这就是接收者发现的频率f。即

f

显然,如果v1背离波源运动,只要将上式中的v1代入负值即可。如果v1的方向不是正对S ,只要将v1出正对的分量即可。

b、只有波源相对介质运动(如图4所示)

设波源以速度v2正对静止的接收者运动。

如果波源S不动,在单位时间内,接收者在A点应接收f个波,故S到A的距离:= fλ 

在单位时间内,S运动至S′,即= v2 。由于波源的运动,事实造成了S到A的f个波被压缩在了S′到A的空间里,波长将变短,新的波长

λ′= 

而每个波在介质中的传播速度仍为v ,故“被压缩”的波(A接收到的波)的频率变为

f2 = 

当v2背离接收者,或有一定夹角的讨论,类似a情形。

c、当接收者和波源均相对传播介质运动

当接收者正对波源以速度v1(相对介质速度)运动,波源也正对接收者以速度v2(相对介质速度)运动,我们的讨论可以在b情形的过程上延续…

f3 =  f2 = 

关于速度方向改变的问题,讨论类似a情形。

6、声波

a、乐音和噪音

b、声音的三要素:音调、响度和音品

c、声音的共鸣

第二讲 重要模型与专题

一、简谐运动的证明与周期计算

物理情形:如图5所示,将一粗细均匀、两边开口的U型管固定,其中装有一定量的水银,汞柱总长为L 。当水银受到一个初始的扰动后,开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力,试证明汞柱做简谐运动,并求其周期。

模型分析:对简谐运动的证明,只要以汞柱为对象,看它的回复力与位移关系是否满足定义式①,值得注意的是,回复力系指振动方向上的合力(而非整体合力)。当简谐运动被证明后,回复力系数k就有了,求周期就是顺理成章的事。

本题中,可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x 、水银密度为ρ、U型管横截面积为S ,则次瞬时的回复力

ΣF = ρg2xS = x

由于L、m为固定值,可令: = k ,而且ΣF与x的方向相反,故汞柱做简谐运动。

周期T = 2π= 2π

答:汞柱的周期为2π 。

学生活动:如图6所示,两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置,绕各自的轴线等角速、反方向地转动,在滚轮上覆盖一块均质的木板。已知两滚轮轴线的距离为L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为μ、木板的质量为m ,且木板放置时,重心不在两滚轮的正中央。试证明木板做简谐运动,并求木板运动的周期。

思路提示:找平衡位置(木板重心在两滚轮中央处)→ú力矩平衡和Σ?F6= 0结合求两处弹力→ú求摩擦力合力…

答案:木板运动周期为2π 。

巩固应用:如图7所示,三根长度均为L = 2.00m地质量均匀直杆,构成一正三角形框架ABC,C点悬挂在一光滑水平轴上,整个框架可绕转轴转动。杆AB是一导轨,一电动松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动,而框架却静止不动,试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。

解说:由于框架静止不动,松鼠在竖直方向必平衡,即:松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。设松鼠的质量为m ,即:

N = mg                            ①

再回到框架,其静止平衡必满足框架所受合力矩为零。以C点为转轴,形成力矩的只有松鼠的压力N、和松鼠可能加速的静摩擦力f ,它们合力矩为零,即:

MN = Mf

现考查松鼠在框架上的某个一般位置(如图7,设它在导轨方向上距C点为x),上式即成:

N·x = f·Lsin60°                 ②

解①②两式可得:f = x ,且f的方向水平向左。

根据牛顿第三定律,这个力就是松鼠在导轨方向上的合力。如果我们以C在导轨上的投影点为参考点,x就是松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向因素,松鼠的合力与位移满足关系——

= -k

其中k =  ,对于这个系统而言,k是固定不变的。

显然这就是简谐运动的定义式。

答案:松鼠做简谐运动。

评说:这是第十三届物理奥赛预赛试题,问法比较模糊。如果理解为定性求解,以上答案已经足够。但考虑到原题中还是有定量的条件,所以做进一步的定量运算也是有必要的。譬如,我们可以求出松鼠的运动周期为:T = 2π = 2π = 2.64s 。

二、典型的简谐运动

1、弹簧振子

物理情形:如图8所示,用弹性系数为k的轻质弹簧连着一个质量为m的小球,置于倾角为θ

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