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    1．什么是数列的极限? 在引入数列极限的精确定义之前.我们先看一句中国古语:“一尺之锤.日取其半.万世不竭． 这句话的意思是说:“有一根一尺长的木棒.每天截下前一天留下的一半.永远也截不完． 我们来考察每天所剩余的木棒长度如何随着天数的改变而变化．因为日取其半.所以第1天剩余的木棒长度为.第2天截下尺的一半.所以剩余的木棒长度为.依此类推.第n天剩余的木棒长度为 这个式子反映了每天所剩余的木棒长度随着天数改变而变化的规律．它具有这样的变化趋势:当天数n无限增大时.剩余木棒长度以0为极限.并记为． 我们又以另一方面考察.截下的木棒总长度如何随着天数的改变而变化．第1天截下的木棒总长度为.到第2天截下的木棒总长度为.依此类推.到第n天截下的木棒总长度为．这个式子就反映了截下的木棒长度如何随着天数而改变的变化规律．它具有这样的变化趋势:当天数n无限增大时.截下的木棒总长度无限接近于常数1.这时我们就说.当天数n趋向于无穷大时.截下的木棒总长度以1为极限.并记为如果我们把每天所剩余的木棒长度数值与截下的木棒总长度数值分别依次排列起来.那么可以得到两个数列: 这时式就分别是和的数列展开式．这两个数列中的项具有这样的变化趋势:当项数n无限增大时.数列(1)中的项无限接近于常数0.而数列(2)中的项无限接近于常数1.这时我们就说数列以1为极限． 从上面两个具体数列极限的例子的共同特点.可以抽象出数列极限的描述性定义: 如果数列中的项具有这样的变化趋势:当n无限增大时.项无限接近某一个常数A.那么我们就说.数列以常数A为极限.且记为 关于数列极限概念的这种描述.只能算直观的描述.虽然有直观易懂的特点.但在运用极限进行推理时将会碰到困难.且利用“n无限增大 和“无限接近于某一个常数A 这些未加说明的直观描述来判断.在逻辑上是有毛病的.也容易发生错误.所以还必须对数列极限作确切的刻画.把直观描述上升为精确的定义． 数列极限的精确定义: 上面关于数列极限的直观描述中.有一个涉及到极限本质的问题.这就是:“无限接近于常数A 的真正含义是什么?弄清这点是掌握数列极限概念的关键.用句俗话来说.“无限接近于常数A 的意思是:“可以任意地靠近A.希望有多近就能有多近.只要n充分大时.就能达到我们希望的那样近． 换句话来说.就是指:“距离可以任意地小.希望有多小就能有多小.只要n充分大时.就能达到我们希望的那样小． 现拿数列来说明.若取作标准,那么只要n>3.就有,如果认为还不够小.要选作标准.那么只要n>6,就有,如果嫌仍不够小.要选更小的作标准.那么只要n>9.就有,(如果想选再小的作标准.那么只要n>13.就有.)总之.任意给出一个无论多么小的正数ε作标准.只要这个ε一经给定.那么对数列来说.总可以确定一项(或者说总存在一项.设为第N项)．使得随后的所有项(即满足n>N的一切).都有．上述过程可以概括在如下的表格中: 给定正数 总存在一个项数 使得当-时 都有 3 n>3 6 n>6 9 n>9 13 n>13 - - - - ε N n>N 这个表格的最后一行是值得我们注意的.它把数列“无限接近于1 的本质确切地刻画出来了.把它概括为一般情形.就得到用ε和N描述的数列极限的精确定义: 设有数列.并设A是一个常数．如果任意给定一个正数ε.总存在一个正整数N.使得当n>N时.都有成立.则称数列以常数A为极限.且记为或者记为．如果数列不存在极限.则称数列发散．[注:①ε是希腊字母.读作['epsiln],②是拉丁文一词的前三个字母.通常按英文limit一词读音．] 现在我们对极限的定义作几点说明: (1)关于正数ε.定义中的正数ε是一个距离指标.用来刻画与A的接近程度．ε具有二重性:①是任意性.即ε可以根据需要任意选取.这样.由不等式才能表明数列无限接近于a,②是相对固定性.ε虽然可以任意给定.但一经给定就相对固定下来.作为一个固定的正数看待．正数ε的二重性体现了一个数列逼近它的极限时要经历一个无限过程(这个无限过程通过ε的任意性来体现).但这个无限过程又要一步步地实现.而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过ε的相对固定性来体现)． (2)定义中的正整数N是一个特定的项数.对于这个项数.重要的是它的存在性.它是在ε固定后才能确定的.所以它依赖于ε．大体上说来.ε变小时.N就变大.所以可以把N看成是ε的函数．要注意.对于一个固定的ε来说.合乎定义要求的正整数N不是惟一的．例如数列的极限为0.即.取定存在自然数.当n>100时有.显然.对取定的.比100大的任何一个自然数都能起到的作用．如取.当.当然也有一般情况.对任意ε>0.总存在自然数N.当n>N时.有.于是当时.当然也有.由此可见.在极限的定义中.“总存在自然数N 这段话.在于强调自然数N的存在性．因此.在极限的证明题中.常取较大的自然数N．此外.定义中的不等式指的是下面一串不等式:-.定义要求这一串不等式都成立．至于下面N个不等式.并不要求它们一定成立: (3)若ε是任意给定的数.不难看到2ε.5ε.也都是任意给定的数．尽管它们在形式上与ε有差异.但在本质上它们与ε起同样的作用．今后在极限的证明题中.常应用与ε等价的其他形式． 【查看更多】

     

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