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    7．什么是函数的极限? 实际上.数列就是定义域为自然数集的函数.在每一个自然数n处的函数值f(n)就是.即.如果理解了这种特殊函数形式的极限.那么学习函数极限的概念也就可以触类旁通.因为数列极限已包含着一般函数极限的基本思想．与数列不同的是.函数y=f(x)的自变量有多种变化过程．一般来说.自变量x的变化趋势有两种情形:一种是x无限接近于固定值,另一种是x的绝对值无限增大.也就是x沿数轴的正向和负向无限远离原点.下面就这两种不同的情形分别讨论函数的极限． 引例1 已知自由落体的运动方程是.求在时刻t=1秒时的瞬时速度． 解 这里我们遇到了两个问题:(1)什么叫做在时刻t=1秒时的瞬时速度,(2)怎么求出在时刻t=1秒时的瞬时速度．在中学物理课本中.我们知道.当质点做匀速直线运动时.速度是位移与时间之比: 它可以代表质点在任何时刻的速度．但是.自由落体并不是作匀速直线运动的.因此不能直接利用公式①来解决问题.为了解决所提出的问题.要用到平均速度的概念．我们任意取一个很短的时间间隔[1.t].把质点在这个时间间隔内所作的运动近似地看成是匀速的．我们可以想象的到.当时刻t越来越接近1秒(也就是时间间隔[1.t]越短时).质点运动越接近于匀速运动.从而这段时间间隔的平均速度越接近于质点在时刻t=1秒时的瞬时速度．根据上述想法.首先求出所考虑的时间间隔内.质点运动的平均速度.这个速度是依赖于时刻t的.我们记为．利用公式①可以求得: 这个式子反映了平均速度随着时刻t的变化规律．我们看到.平均速度具有这样的变化趋势:当时刻t无限接近于1秒.但t≠1秒时.平均速度无限接近于9.8米/秒．这时我们说.当时刻t趋向于1秒时.平均速度以9.8米/秒极限,并记为我们把这个极限定义为自由落体在时刻t=1秒时的瞬时速度． 引例2 考察函数 解 我们注意.这个函数在点x=1是没有定义的.对这个函数作图象.并列表如下: x 0.9 0.99 0.999 -1- 1.001 1.01 1.1 y 1.9 1.99 1.999 -2- 2.001 2.01 2.1 从上表和图象可以看出:函数在点x=1的邻近具有这样的变化趋势:当x无限接近于1.但x≠1时.函数的值无限接近于2．这时我们说.当x趋向于1时.函数以2为极限,且记为 从上面给出的两个具体函数极限的例子的共同特点.可以抽象出当时函数f(x)的极限的描述性定义:如果函数y=f(x)在点的邻近具有这样的变化趋势:当x无限接近于.但时.f(x)无限接近于一个常数A.那么我们说.当时.函数f(x)以A为极限.且记为．这个式子中的符号“ 读作“x趋向于 .它表示x无限接近于的变化过程．应当注意.在一般讨论函数极限时.只要求函数f(x)在某个点的空心邻域(即点的邻域.但不包含点)内有定义.因此通常是限制x不等于的.并不要求函数f(x)在这一点一定要有定义．比如.在上面例1中.当t=1时.平均速度就失去意义.因为只有在一段时间间隔内.才有平均速度可言,又如.在例2中.当x=1时.所讨论的函数也没有定义．因此.在研究函数f(x)的极限时,我们总不去考虑这一点的函数值情况．无论f(x)在点是否有定义.只要当x无限接近于.但时.f(x)无限接近于常数A.那么数A就是函数f(x)当x趋向于时的极限． 上面关于函数极限概念的描述.也只是-个直观的描述.在这个直观的描述中.涉及到两个“无限接近 (x无限接近于和f.它们的真正含义是什么呢?弄清这些是掌握函数极限概念的关键． 所谓“当x无限接近于.但时.f(x)无限接近于A 的意思是:f(x)可以任意靠近A.希望有多近就能有多近.只要x充分靠近,但不等于时.就可以使f(x)与A靠近到我们希望的那样近．换句话说.就是指:“|f(x)-A|可以任意地小.希望有多小就能有多小.只要充分小.但不为0(即时.就可以使|f(x)-A|达到我们希望的那样小． 我们可以用例1涉及的平均速度来说明.|f(x)-A|就相当于若取0.1作标准.那么只要时.就有若认为0.1不够小.就选取0.01作标准．那么只要时.就有若嫌0.01仍不够小.要选更小的0.001作标准．那么只要,就有若想选0.0001作标准．只要.就有总之.任意给出多么小的正数ε作标准.只要这个ε一经给定.那么对平均速度来说.总能确定一个正数δ.使得当0<|t-1|<δ时.都有上述过程可以概括在如下表格中: 给定正数 总存在一个正数 使得当-时 都有 0.1 0.01 0.001 0.0001 - - - - ε δ 0<|t-1|<δ 这个表格的最后一行很关键.它把“当t无限接近于1.但t≠1时.无限接近于9.8 的本质确切地刻画出来了.把它概括为一般情形.就得到ε和δ描述的函数极限的精确定义． 定义:设函数y=f(x)在的某个空心邻域内有定义.并设A是一个常数.如果任意给定一个正数ε.总存在一个正数δ.当时.都有|f(x)-A|<ε成立.则称当时.函数f(x)以A为极限.或称A为函数f(x)在点的极限.并记为.或者记为．为了便于记忆和掌握.也可以把这个定义概括如下:任给ε>0.总存在δ>0.使得当时.都有|f(x)-A|<ε． 极限有明显的几何意义.已知不等式与等价.又已知不等式|f(x)-A|<ε与A-ε<f(x)<A+ε等价.将极限定义中的四段话换成几何语言是: 对任意ε>0:任意以二直线y=A±ε为边界的带形区域． 总存在δ>0:总存在(以点为心的)半径δ>0． 当时:当点x位于以点为中心.以δ为半径的去心邻域之中． 有|f(x)-A|<ε:相应的函数f(x)的图象位于这个带形区域之内．如图2-4: 这样一来.的定义也可以表达为:对A的任意一个ε邻域O.总存在着的一个δ邻域.当时.有f． 例1 设 思路启迪 按照定义.要找这样的数δ>O.使0<|t-1|<δ时.即可． 规范证法 因为极限式左边又因为我们不一定要找到满足定义的最大的δ.因此不妨只就t=1的某一邻域来考虑．例如取|t-1|<1即0<t<2.这时2<|t+2|<4.于是.|t+2||t-1|<4|t-1|,而时.上式右端就小于ε,因此只要取δ等于1和两数中最小的即可.亦即取．这时.当0<|t-1|<δ时.就有|t-1|<1和|t-1|<.因此|t+2||t-1|<4|t-1|和4|t-1|<ε都能成立.这就可以证明了结论． 的极限． 例如函数.“当|x|无限增大时.y无限地接近于1 是指“当|x|无限增大时.|y-1|可以任意小． 即对于任意给定的ε>0.要使.只要取就可以了．亦即当x进入区间时.|y-1|<ε恒成立．这时我们就称x趋于无穷大时.以1为极限． 定义:如果对于任意给定的正数ε.总存在一个正数M.使得当|x|>M时.|f(x)-A|<ε恒成立.则称当x趋于无穷大时.函数f(x)以常数A为极限．记作或f． 注意:定义中ε刻画f(x)与A的接近程度.M刻画|x|充分大的程度,ε是任意给定的正数.M是随ε而确定的． 【查看更多】

     

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