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    11．什么是函数的连续性? 现实世界中很多变量的变化是连续不断的.如气温.物体运动的路程.金属丝加热时长度的变化等等.都是连续变化的．这种现象反映在数学上就是函数的连续性.它是微积分的又一重要概念． 下面我们先引入函数改变量的概念与记号． 函数改变量． 定义:设变量t从它的初值改变到终值,终值与初值之差称为变量t的改变量. [注:改变量可以是正的.也可以是负的．] 设有函数y=f(x).给自变量x一个改变量△x.当自变量x从改变到时.函数y相应的改变量为△y．如图2-10所示.△y为: 对于函数y=f(x)定义域内一点.如果自变量x在点处取得极其微小的改变量△x时.函数y相应的改变量△y也极其微小.且当△x趋于0时.△y也趋于0.则称函数y=f(x)在点处是连续的．如图2-11．而对图2-12来说.在点处不满足这个条件.所以.它在点处不连续． 下面给出函数在一点处连续的定义． 定义:设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义.如果当自变量x在点处取得改变量△x趋于0时.函数相应的改变量△y也趋于0.即或写作.则称函数f(x)在点处连续． 例1 证明函数 思路启迪 要证 规范证法 当x从处产生一个改变量△x时.函数相应改变量为因为.所以在给定点处连续. 在上面的定义中.令.则.那么当时.必有.且,因而可以写为即因此,函数在点处连续,也可以如下定义: 设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,如果时,函数f(x)的极限存在,而且等于f(x)在点处的函数值,即有,则称函数f(x)在点处连续． 因此,求连续函数在某点的极限,只须求出函数在该点的函数值即可．前面例1已证明在点处连续,故有 例2 证明正弦函数f(x)=sinx在R上连续． 思路启迪 要证f(x)=sinx在R上连续,只需证明对任意的 规范证法 对任意ε>0,解不等式 取δ≤ε,于是.对任意ε>0.总存在δ≤ε.当时.有.即正弦函数sinx在连续.因为是R上任意-点.所以正弦函数sinx在R上是连续函数．同理可知.余弦函数cosx在R上也是连续函数． 【查看更多】

     

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