6．期望和方差各是什么? 在实际问题中.除了离散型随机变量的分布列之外.我们有时还要了解随机变量更多的特征．期望和方差就是用来刻画随机变量数字特征的重要参数．期望主要用来描述随机变量的平均取值情况.而方差则用来描述随机变量的取值对于平均值的离散程度．作为随机变量重要的数字特征.期望和方差直观.综合地反映出了变量取值的大致情况.在实际中具有广泛的应用． 先来看期望.期望有时又称为数学期望或平均数等等．它表明了随机变量取值的平均水平.我们用下面的例子来引出数学期望的数学定义． 一个车间共有5台机床.对于这些机床.由于各种原因.时而工作.时而停止．因此任一时刻工作着的机床数目是一个随机变量.为了精确估计该车间的电力负荷.我们需要知道车间中同时工作着的机床的平均数目． 假定我们进行了20次观察.结果如下表所示: 工作着的机床数目 0 1 2 3 4 5 频数 0 0 1 2 6 11 频率 0 0 表1-13 因此.该车间中同时工作着的机床的平均数目为: 由上面的计算过程可知.所求的平均数实际上就是随机变量的可能取值与取该值时对应的频率乘积之和．由于这个平均值是由观察得来的.所以会带有-些偶然性.这种偶然性主要表现在频率上．如果我们能用概率代替频率.就能从根本上消除这种偶然性.从而在本质上反映出随机变量的平均值．为此.我们将期望定义为如下的值: 一般地.设随机变量η的分布列为: η - - P - - 表1-14 我们定义为离散型随机变量η的数学期望.简称期望．[注:一个随机变量的期望是一个确定的值.如果它存在的话.应与等号右边的求和顺序无关．] 根据数学期望的定义.我们可得关于期望的两条重要的性质: 性质一:对于任何常数c.公式E(cη)＝c·Eη恒成立．[注:一般地.随机变量η的期望可以成E(η)简记为Eη.但若η前有系数时.必须写成E(kη).k为常数系数．] 性质二:对于多个随机变量.若它们的期望都存在.则下式成立． 下面列举几个常用分布的期望值: (1)服从两点分布的随机变量η的期望值为Eη＝P．． (2)服从二项分布的随机变量η的期望值为Eη＝n·P．(其中P为事件成功的概率)． (3)服从几何分布的随机变量η的期望值为.(其中P为事件成功的概率)． 由上面的实例可知.期望在实际应用中很重要．但在不少问题中.仅仅知道了随机变量的期望是不够的．比如.考查射手打靶射击的水平.不仅要看他们各自平均击中的环数.而且还应看他们所击中环数的摆动程度．假定两名射手各自射击5次.所得环数如下表: 射击次数 1 2 3 4 5 甲击中的环数 4 8 7 10 6 己击中的环数 7 7 8 7 6 表1-15 容易计算甲.乙二人射击的平均环数都是7环.但很明显击中环数与平均击中环数的偏离程度不一样．从稳定性来看乙要好于甲．把随机变量的这种特性用一个数字表示出来就有了方差的概念．我们来看看方差的定义．对于上述例题我们可以先计算每次击中的环数与平均击中环数的差的平方: 然后分别对它们求均值: 对甲有:÷5＝4． 对乙有:÷5＝0.4． 显然0.4<4.即乙射手的射击稳定性要优于甲射手． 在这里为什么我们要用实际取值与平均取值的差的平方参与运算而不用差本身呢?这是因为差本身可能由于有正有负而相互抵消.那就不能正确反映出偏离程度了.而用差的平方就-定可以避免这种情况发生． 上面例中的实际取值与均值的差的平方和的平均值我们叫做方差．方差是用来描述随机变量取值的偏离程度的量．对于随机变量η.方差记为.显然表示的平均值.也就是.这就是方差的数学定义．根据我们已知的期望的运算法则有: 在实际计算过程中.我们经常用上面推出的等式:来计算方差．和期望一样.方差也有两条常用的性质: 性质二:对于互相独立的随机变量.成立 一些常用概率分布的方差如下: (1)两点分布的随机变量的方差为:Dη＝p·(1-p)． (2)服从二项分布的随机变量的方差为:Dη＝n·p·(1-p)． . [注:除了方差外.我们还可能用到,一般用希腊字母σ来表示.称为随机变量η的标准差.它也是描述随机变量取值离散程度的重要参数．] 【
查看更多】
题目列表(包括答案和解析)
