7．离散型随机变量的期望和方差是如何计算的? 离散型随机变量的数学期望和方差的计算主要有以下三种方法．方法一:用定义求出．先来回顾一下期望和方差的定义:设η为离散型随机变量.其分布列为: - - P - - 表1-16 若和式可以计算.则称之为随机变量η的数学期望.记作.即[注:我们一般见到的分布列都为有限项.所以其期望值都是可以计算的．对于无限项的分布列.在计算时要用到级数和极限的内容.我们这里暂不作介绍．] 若随机变量η的数学期望存在.且也存在(这里的是一个常数).则称为η的方差.记为．即.显然．根据上述期望的定义可得方差的计算公式为: .计算随机变量的方差除用上述定义之外.最常用的是下面的简化公式: 来看下面的例题: 例1 有3只球和4只盒子.盒子的编号为1.2.3.4．将球逐个独立地.随机地放入四个盒子中去．以η表示其中至少有-只球的盒子的最小号码(例如事件{η＝3}表示第1号.第2号盒子都是空的.第3号盒子中至少有-只球).试求．思路启迪因为用公式计算时必须知道随机变量η的分布列．所以该题的第一步是计算η的分布列．由题述.显然η的可能取值为1.2.3.4．再来看η取各值的概率．当η＝1时.表示第1号盒子中至少有一只球.其球的放法共有种.这是因为第l号盒子仅有一只球的放法为种.有两只球的放法共有种.有3只球的放法共有种．当η＝2时.表明1号盒子为空.第2号盒子至少有一个球．其球的放法总数有种．这是因为第2号盒子只有一只球的放法有种.有两只球的放法有种.有三只球的放法共有种．当η＝3时.表示第1号.第2号盒子均为空.第3号盒子中至少有一只球.其球的放法有＝7种.这是因为第3只盒子只有一只球.两只球.三只球的放法分别为:种．当η＝4时.表明第1.2.3号盒子都为空.第4号盒子定有3个球.球的放法只有一种．而3只球.放入4只盒子.盒子装球的个数不限.共有种放法.所以规范解法由上面分析可得η的分布列为 1 2 3 4 P 37/64 19/64 7/64 1/64 表1-17 因此.按照期望的计算公式可得: 例2 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗.假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的.且概率都是.设随机变量η表示途中遇到红灯的次数.求η的分布列和数学期望．思路启迪因为在每个交通岗只会发生两件事“遇到红灯与“不遇到红灯 .且两事件相互矛盾.因此遇到红灯的次数η是一随机变量且服从二项分布．规范解法随机变量η服从二项分布.即.η的可能取值为0.1.2.3.易求得: 于是所求的分布列为: 0 1 2 3 P 表1-18 η的数学期望为方法二:利用常见离散型随机变量的数字特征公式求之．为了方便应用.下面将几种常见离散型随机变量的期望和方差列成表.以备查用．希望读者熟记表中所列的期望和方差的计算公式．分布名称分布列期望方差 0-1分布 P P·(1-P) 二项分布 n·p np·(1-p) 几何分布表1-19 [注:计算期望和方差时.应先考查其分布是否是常见分布．属常见分布.其方差与期望可直接利用公式求之．不必像例1那样先求分布列.再用定义计算.那样太麻烦.且容易算错．] 例3 某人掷不均匀钱币.出现反面的概率为P..求在两次出现反面之间出现正面的次数的概率分布和数学期望．思路启迪设随机变量η表示两次出现反面之间出现正面的次数.则η的一切可能值为一切非负整数.即0.1.2.-.n.-．设出现m次正面后出现反面.则规范解法设η表示两次出现反面之间出现正面的次数.则η服从几何分布.参数为P.由上表可知η的率分布为其数学期望为. 例4 设一次试验成功的概率为p.进行100次独立重复试验．当P＝( )时.成功次数的标准差的值最大.其最大值为( )．思路启迪设100次独立重复试验中的成功次数为随机变量η．所以η服从二项分布.即η-B.根据上表中所列公式可得随机变量η的方差为: . 规范解法设随机变量η表示100次试验中成功的次数.很明显η-B.所以η的标准差为因显然当时.100p·(1-p)达到最大.即的值最大．其最大值为 [注:常将p(1-p)配成完全平方式:来讨论服从二项分布的随机变量其方差的大小问题．] 方法三:随机变量分解法．将随机变量η分解成若干个随机变量之和.把求Eη转化为: 若易于求出.则Eη的计算就非常简便.这种处理方法称为随机变量分解法．例5 设随机变量η-B(n.p)试求Eη和Dη．思路启迪因为η-B(n.p)设规范解法【查看更多】

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下面说法中正确的是

A.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率

B.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率

C.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平

D.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值

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下列说法中正确的是

A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ的值的概率的平均值

B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平

C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平

D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值