设正整数数列满足:.当时.有． (I) 求.的值, (Ⅱ)求数列的通项, (Ⅲ) 记.证明.对任意. . 解(Ⅰ)时..由已知.得. 因为为正整数.所以.同理------------2分 可猜想:.----------------3分 证明:①时.命题成立, ②假设当与时成立.即..-----4分 于是.整理得:.-----------5分 由归纳假设得:.-------6分 因为为正整数.所以.即当时命题仍成立. 综上:由知①②知对于.有成立．------------7分 (Ⅲ)证明:由 ③ 得 ④ ③式减④式得 ⑤-------9分 ⑥ ⑤式减⑥式得 -------11分 ----13分 则 ．--------------------14分 【
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