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    3．判断函数单调性的方法步骤 例1．证明函数,在上是增函数. 例2证明函数,在区间和上分别是减函数 练习:46页练习A 学习方法指导:函数的单调性一般是先根据图象判断.再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机.求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域.单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 课后作业: 52页 6 学生作业后的反思与体会: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在利用导函数判断函数单调性的方法中，(x)＞0是f(x)在区间Ⅰ上为增函数的充要条件吗？

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    已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

    （1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

    （2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

    【解析】解：令.

    当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

    于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

    令则

    当时，单调递增；当时，单调递减.

    故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

    综上所述，的取值集合为.

    （Ⅱ）由题意知，令则

    令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

    从而，又

    所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

    【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

     

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    为了研究“两个定义在R上的单调增函数f(x)，g(x)经过运算以后的单调性”这一问题，

    (1)、取f(x)＝2x＋1(x∈R)，g(x)＝3x－2(x∈R)，计算f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，判断其单调性，并将结论用数学语言表述．

    (2)、由(1)得出的关于单调性的结论，对R上的单调增函数f(x)，g(x)都成立吗？若成立，给出证明；若不成立，举出反例；

    (3)、请运用上述研究方法继续研究R上的单调增函数f(x)，g(x)经过其它某一种运算后的单调性．(只需要得出一个正确结论)

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    （2012•卢湾区一模）已知函数f（x）=
    x+1-tt-x
    （t为常数）．
    （1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
    （2）设an=f（n）（n∈N*），当t＞10，且t∉N*时，试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
    （3）利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述构造过程中，若xi（i∈N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．若可用上述方法构造出一个常数列{xn}，求t的取值范围．

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    （2012•卢湾区一模）已知函数f（x）=
    x+1-tt-x
    （t为常数）．
    （1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
    （2）设an=f（n）（n∈N*），当t＞10，且t∉N*时，试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
    （3）利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述构造过程中，若xi（i∈N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．若取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数t的值．

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