题目列表(包括答案和解析)
设f (x)=sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x),其中x∈R.
(Ⅰ) 该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
(Ⅱ)若f (θ)=,其中,求cos(θ+)的值;
【解析】第一问中,
即变换分为三步,①把函数的图象向右平移,得到函数的图象;
②令所得的图象上各点的纵坐标不变,把横坐标缩短到原来的倍,得到函数的图象;
③令所得的图象上各点的横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象;
第二问中因为,所以,则,又 ,,从而
进而得到结论。
(Ⅰ) 解:
即。…………………………………3分
变换的步骤是:
①把函数的图象向右平移,得到函数的图象;
②令所得的图象上各点的纵坐标不变,把横坐标缩短到原来的倍,得到函数的图象;
③令所得的图象上各点的横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象;…………………………………3分
(Ⅱ) 解:因为,所以,则,又 ,,从而……2分
(1)当时,;…………2分
(2)当时;
(本小题满分12分)
如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形
的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?
请用你的计算数据说明理由.
解:因为 ………………5分
………………10分
因为
所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子. ………………12分
解:因为函数没有零点,所以方程无根,则函数y=x+|x-c|与y=2没有交点,由图可知c>2
某地区的羊患某种病的概率是0.4,且每只羊患病与否是彼此独立的,今研制一种新的预防药,任选6只羊做实验,结果6只羊服用此药后均未患病. 你认为这种药是否有效?
在中,满足,是边上的一点.
(Ⅰ)若,求向量与向量夹角的正弦值;
(Ⅱ)若,=m (m为正常数) 且是边上的三等分点.,求值;
(Ⅲ)若且求的最小值。
【解析】第一问中,利用向量的数量积设向量与向量的夹角为,则
令=,得,又,则为所求
第二问因为,=m所以,
(1)当时,则=
(2)当时,则=
第三问中,解:设,因为,;
所以即于是得
从而
运用三角函数求解。
(Ⅰ)解:设向量与向量的夹角为,则
令=,得,又,则为所求……………2分
(Ⅱ)解:因为,=m所以,
(1)当时,则=;-2分
(2)当时,则=;--2分
(Ⅲ)解:设,因为,;
所以即于是得
从而---2分
==
=…………………………………2分
令,则,则函数,在递减,在上递增,所以从而当时,
在棱长为的正方体中,是线段的中点,.
(1) 求证:^;
(2) 求证://平面;
(3) 求三棱锥的表面积.
【解析】本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中,利用,得到结论,第二问中,先判定为平行四边形,然后,可知结论成立。
第三问中,是边长为的正三角形,其面积为,
因为平面,所以,
所以是直角三角形,其面积为,
同理的面积为, 面积为. 所以三棱锥的表面积为.
解: (1)证明:根据正方体的性质,
因为,
所以,又,所以,,
所以^. ………………4分
(2)证明:连接,因为,
所以为平行四边形,因此,
由于是线段的中点,所以, …………6分
因为面,平面,所以∥平面. ……………8分
(3)是边长为的正三角形,其面积为,
因为平面,所以,
所以是直角三角形,其面积为,
同理的面积为, ……………………10分
面积为. 所以三棱锥的表面积为
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