练习册

  • 练习册
  • 试题
    证明不等式的常用方法 除了课本上介绍的证明不等式的三种基本方法外.还有如下常用方法: (1)放缩法 若证明“A≥B .我们先证明“A≥C .然后再证明“C≥B .则“A≥B . (2)反证法 反证法是通过否定结论导致矛盾.从而肯定原结论的一种方法. (3)数学归纳法 证明与自然数n有关的不等式时.常用数学归纳法.此法高考中已多次考查. (4)变量代换法 变量代换是数学中的一种常用的解题方法.对于一些结构比较复杂.变化较多而关系不太清楚的不等式.可适当地引进一些新的变量进行代换.以简化其结构.其代换技巧有局部代换.整体代换.三角代换.增量代换等. (5)函数方法 通过利用函数的性质.如单调性.凹凸性.有界性.实根存在的条件等证明不等式的方法称为函数方法. (6)构造方法 不等式证明中的构造方法.主要是指通过引进合适的恒等式.数列.函数.图形及变量等辅助手段.促使命题转化.从而使不等式得证.此法技巧要求较高.高考试题中很少见. [例题解析] 例1 证明下列不等式: (1)若x,y,z∈R.a,b,c∈{x|x是正实数}.则 x2+y2+z2≥2, (2)若x,y,z∈{x|x是正实数}.且x+y+z=xyz.则++≥2(++)2. 解 (1)先考虑用作差证法 ∵x2+y2+z2-2= (x2+y2-2xy)+(y2+z2-2yz)+ (z2+x2-2zx)=(xy)2+(y-z)2+(z-x)2≥0 ∴ x2+y2+z2≥2 (2)采用等价转化法 所证不等式等价于 x2y2z2(++)≥22 xyz·[yz]≥22 (y2z+yz2+z2x+zx2+x2y+xy2)≥2(x2y2+y2z2+z2x2)+4(x2yz+xy2z+xyz2) y3z+yz3+z3x+zx3+x3y+xy3≥2x2yz+2xy2z+2xyz2 yz(y-z) 2 +zx(z-x) 2+xy(x-y) 2+x2 (y-z) 2+y2 (z-x)2+z2 (x-y) 2≥0 ∵上式显然成立 ∴原不等式得证. 注 (1)配方技巧的实现关键在于合理的分项.正是这种分项我们对(1)还可证明如下: x2+y2+z2 =(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2) ≥2+2+2 ≥2 (2)的证法要害是:化分式为整式.活用条件.即用x+y+z代换xyz.以及配方技术.事实上.这个代数不等式的实质是如下三角不等式: 在锐角△ABC中.求证: cotA+cotB·+cotC·≥22 例2 证明若x,y,z∈R.且x+y+z=1.x2+y2+z2=.则x,y,z,∈[0,]. 证法一由x+y+z=1.x2+y2+z2=.得:x2+y2+2= 整理成关于y的一元二次方程得: 2y2-2(1-x)y+2x2-2x-=0 ∵y∈R.故Δ≥0 4(1-x)2-4×2(2x2-2x-)≥0 解之得:0≤x≤∴x∈[0,] 同理可得:y,z∈[0,] 证法二 设x=+x′.y=+y′,z=+z′.则x′+y′+z′=0 于是 故.x′∈[-.].x∈[0, ].同理.y,z∈[0, ] 证法三 反证法 设x.y.z三数中若有负数.不妨设x<0.则x2>0.=x2+y2+z2≥x2+=+x2=x2-x+>.矛盾. 设x,y,z三数中若有最大者大于.不妨设x>.则: =x2+y2+z2≥x2+ =x2+=x2-x+ =x·(x-)+>.矛盾. 故x,y,z∈[0, ]. 注:本题证法甚多.最易接受的方法是证法一的判别式法.因为该法思路明晰.易于操作.技巧性不强. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)


    同步练习册答案