7．定理1:不定方程x1+x2+-+xn=r的正整数解的个数为. [证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A.不定方程x1+x2+-+xn=r的正整数解构成的集合为B.A的每个装法对应B的唯一一个解.因而构成映射.不同的装法对应的解也不同.因此为单射.反之B中每一个解(x1,x2,-,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数.i=1,2,-,n.便得到A的一个装法.因此为满射.所以是一一映射.将r个小球从左到右排成一列.每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个.将球分n份.共有种.故定理得证. 推论1 不定方程x1+x2+-+xn=r的非负整数解的个数为 推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合.其组合数为 【
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