对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数y=g(x)=3-

5

x

不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数y=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=

bx+c

ax

的函数为例）

设函数f（x）的定义域为D，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么，称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列x=g（t）是不是f（x）的一个等值域变换？说明你的理由：（A）f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R；（B）f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）设f（x）=log₂x（x∈R⁺），g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，求实数a的取值范围，并指出x=g（t）的一个定义域；
（3）设函数f（x）的定义域为D，值域为B，函数g（t）的定义域为D₁，值域为B₁，写出x=g（t）是f（x）的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．