定义1 角.一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角.若旋转方向为逆时针方向.则角为正角.若旋转方向为顺时针方向.则角为负角.若不旋转则为零角.角的大小是任意的. 定义2 角度制.把一周角360等分.每一等价为一度.弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度.360度=2π弧度.若圆心角的弧长为L.则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径. 定义3 三角函数.在直角坐标平面内.把角α的顶点放在原点.始边与x轴的正半轴重合.在角的终边上任意取一个不同于原点的点P.设它的坐标为(x,y).到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=.余切函数cotα=.正割函数secα=,余割函数cscα= 定理1 同角三角函数的基本关系式.倒数关系:tanα=,sinα=.cosα=,商数关系:tanα=,乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα,平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理2 诱导公式(Ⅰ)sin=-sinα, cos=-cosα, tan=tanα, cot=cotα;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin=sinα, cos=-cosα, tan==-tanα, cot=-cotα; (Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα(奇变偶不变.符号看象限). 定理3 正弦函数的性质.根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下.单调区间:在区间上为增函数.在区间上为减函数.最小正周期为2. 奇偶数. 有界性:当且仅当x=2kx+时.y取最大值1.当且仅当x=3k-时, y取最小值-1.对称性:直线x=k+均为其对称轴.点(k, 0)均为其对称中心.值域为[-1.1].这里k∈Z. 定理4 余弦函数的性质.根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质.单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减.在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增.最小正周期为2π.奇偶性:偶函数.对称性:直线x=kπ均为其对称轴.点均为其对称中心.有界性:当且仅当x=2kπ时.y取最大值1,当且仅当x=2kπ-π时.y取最小值-1.值域为[-1.1].这里k∈Z. 定理5 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π.值域为.点(kπ.0).(kπ+.0)均为其对称中心. 定理6 两角和与差的基本关系式:cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)= 定理7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos, cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin, sinαcosβ=[sin+sin],cosαsinβ=[sin-sin], cosαcosβ=[cos+cos],sinαsinβ=-[cos-cos]. 定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= 定理9 半角公式:sin=,cos=, tan== 定理10 万能公式: , , 定理11 辅助角公式:如果a, b是实数且a2+b20.则取始边在x轴正半轴.终边经过点(a, b)的一个角为β.则sinβ=,cosβ=.对任意的角α. asinα+bcosα=sin. 定理12 正弦定理:在任意△ABC中有.其中a, b, c分别是角A.B.C的对边.R为△ABC外接圆半径. 定理13 余弦定理:在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA.其中a,b,c分别是角A.B.C的对边. 定理14 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象,经左右平移得y=sin(x+)的图象,纵坐标不变.横坐标变为原来的.得到y=sin()的图象,横坐标不变.纵坐标变为原来的A倍.得到y=Asinx的图象,y=Asin(x+)(>0)的图象,横坐标不变.纵坐标变为原来的A倍.得到y=Asinx的图象,y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象. 定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数.记作y=arcsinx(x∈[-1, 1]).函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数.记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数.记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数.记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理15 三角方程的解集.如果a∈.方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}.方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R.方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}.恒等式:arcsina+arccosa=,arctana+arccota=. 定理16 若.则sinx<x<tanx. 【
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