2．几个常用的不等式. (1)柯西不等式:若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, -, n.则 等号当且仅当存在λ∈R.使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi, 变式1:若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, -, n.则 等号成立条件为ai=λbi,. 变式2:设ai, bi同号且不为0.则 等号成立当且仅当b1=b2=-=bn. (2)平均值不等式:设a1, a2,-,an∈R+.记Hn=, Gn=, An=.则Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均. 其中等号成立的条件均为a1=a2=-=an. [证明] 由柯西不等式得An≤Qn.再由Gn≤An可得Hn≤Gn.以下仅证Gn≤An. 1)当n=2时.显然成立, 2)设n=k时有Gk≤Ak.当n=k+1时.记=Gk+1. 因为a1+a2+-+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥2kGk+1, 所以a1+a2+-+ak+1≥(k+1)Gk+1.即Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法.结论成立. (3)排序不等式:若两组实数a1≤a2≤-≤an且b1≤b2≤-≤bn.则对于b1, b2, -, bn的任意排列.有a1bn+a2bn-1+-+anb1≤≤a1b1+a2b2+-+anbn. [证明] 引理:记A0=0.Ak=.则 =. 证法一:因为b1≤b2≤-≤bn.所以≥b1+b2+-+bk. 记sk=-( b1+b2+-+bk).则sk≥0. 所以-(a1b1+a2b2+-+anbn)= +snan≤0. 最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, -, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立.同理可证左侧不等式. 证法二:考察.若.则存在. 若.则将与互换. 因为 ≥0. 所 调整后.和是不减的.接下来若.则继续同样的调整.至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和.而且每次调整后和是不减的.这说明右边不等式成立.同理可得左边不等式. 例15 已知a1, a2,-,an∈R+.求证,a1+a2+-+an. 注:本讲的每种方法.定理都有极广泛的应用.希望读者在解题中再加以总结. 【
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