（2013•延庆县一模）A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|?（2x₁）-?（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=

3	1+x

，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤

Lk-1

1-L

|x2-x1|成立．

设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设g(x)=f(x)+

a

ex

，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得1n+3n+…+(2n-1)n＜

e

e-1

(an)n对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

将正整数2012表示成n个正整数x₁，x₂，x₃，…x_n之和．记s=

1≤i＜j≤n

xi•xj．
（I）当n=2时，x₁，x₂取何值时s有最大值．
（II）当n=5时，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅分别取何值时，s取得最大值，并说明理由．
（III）设对任意的1≤i＜j≤5且|x_i-x_j|≤2，当x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值时，S取得最小值，并说明理由．

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数f(x)=

3

2

-

2

2x+ 2

图象上任意两点，且x₁+x₂=1．
（Ⅰ）求y₁+y₂的值；
（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)（其中n∈N^*），求T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设an=

2

Tn

（n∈N^*），若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞

1

2

loga(1-2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．