方法简介 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时.应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类.然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况.得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点.把结论推广.然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式. 塞题精析 例1 质点以加速度a从静止出发做直线运动.在某时刻t.加速度变为2a,在时刻2t.加速度变为3a,-,在nt时刻.加速度变为(n+1)a.求: (1)nt时刻质点的速度, (2)nt时间内通过的总路程. 解析 根据递推法的思想.从特殊到一般找到规律.然后求解. (1)物质在某时刻t末的速度为 2t末的速度为 3t末的速度为 -- 则nt末的速度为 (2)同理:可推得nt内通过的总路程 例2 小球从高处自由下落.着地后跳起又下落.每与地面相碰一次.速度减小.求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.(g取10m/s2) 解析 小球从h0高处落地时.速率 第一次跳起时和又落地时的速率 第二次跳起时和又落地时的速率 第m次跳起时和又落地时的速率 每次跳起的高度依次. 通过的总路程 经过的总时间为 例3 A.B.C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正 三角形.每只猎犬追捕猎物的速度均为v.A犬想追捕B犬.B 犬想追捕C犬.C犬想追捕A犬.为追捕到猎物.猎犬不断调 整方向.速度方向始终“盯 住对方.它们同时起动.经多长 时间可捕捉到猎物? 解析 由题意可知.由题意可知.三只猎犬都做等速率曲线运动.而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上.但这正三角形的边长不断减小.如图6-1所示.所以要想求出捕捉的时间.则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动.再用递推法求解. 设经时间t可捕捉猎物.再把t分为n个微小时间间隔△t.在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动.每隔△t.正三角形的边长分别为a1.a2.a3.-.an.显然当an→0时三只猎犬相遇. 因为 即 此题还可用对称法.在非惯性参考系中求解. 例4 一列进站后的重载列车.车头与各节车厢的质量相等.均为m.若一次直接起动.车头的牵引力能带动30节车厢.那么.利用倒退起动.该车头能起动多少节同样质量的车厢? 解析 若一次直接起动.车头的牵引力需克服摩擦力做功.使各节车厢动能都增加.若利用倒退起动.则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变.但各节车厢起动的动能则不同. 原来挂钩之间是张紧的.倒退后挂钩间存在△s的宽松距离.设火车的牵引力为F.则有: 车头起动时.有 拉第一节车厢时: 故有 拉第二节车厢时: 故同样可得: -- 推理可得 由 另由题意知 因此该车头倒退起动时.能起动45节相同质量的车厢. 例5 有n块质量均为m.厚度为d的相同砖块.平放在水平地面上.现将它们一块一块地叠放起来.如图6-2所示.人至少做多少功? 解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来.每次克服重 力做的功不同.因此需一次一次地计算递推出通式计算. 将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为 将第3.4.-.n块砖依次叠放起来.人克服重力至少所需做的功 分别为 所以将n块砖叠放起来.至少做的总功为 W=W1+W2+W3+-+Wn 例6 如图6-3所示.有六个完全相同的长条薄片.2.-.6)依次架在水平碗口上.一端搁在碗口.另一端架在另一 薄片的正中位置. 将质量为m的质点置于A1A6 的中点处.试求:A1B1薄片对A6B6的压力. 解析 本题共有六个物体.通过观察会发现.A1B1.A2B2.-. A5B5的受力情况完全相同.因此将A1B1.A2B2.-A5B5作为一类. 对其中一个进行受力分析.找出规律.求出通式即可求解. 以第i个薄片AB为研究对象.受力情况如图6-3甲所示.第i个 薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni.碗边向上的支持力和后一个薄片 向下的压力Ni+1. 选碗边B点为轴.根据力矩平衡有 所以 ① 再以A6B6为研究对象.受力情况如图6-3乙所示.A6B6受到薄片 A5B5向上的支持力N6.碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力 N1.质点向下的压力mg. 选B6点为轴.根据力矩平衡有 由①.②联立.解得 所以.A1B1薄片对A6B6的压力为 例7 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块.在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥.已知每一积木块长度为L.横截面是边长为的正方形.要求此桥具有最大的跨度.计算跨度与桥孔高度的比值. 解析 为了使搭成的单孔桥平衡.桥孔两侧应有相同的积木块.从上往下计算.使积木块均能保证平衡.要满足合力矩为零.平衡时.每块积木块都有最大伸出量.则单孔桥就有最大跨度.又由于每块积木块都有厚度.所以最大跨度与桥孔高度存在一比值. 将从上到下的积木块依次计为1.2.-.n.显然第1块相对第2块的最大伸出量为 第2块相对第3块的最大伸出量为.则 同理可得第3块的最大伸出量 -- 最后归纳得出 所以总跨度 跨度与桥孔高的比值为 例8 如图6-5所示.一排人站在沿x轴的水平轨道旁.原点O两侧的人的序号都记为 -). 每人只有一个沙袋.一侧的每个沙袋质量为m=14kg.一侧的每个沙袋质量. 一质量为M=48kg的小车以某初速度v0从原点出发向正x轴方向滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时.此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上.v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.(n是此人的序号数) (1)空车出发后.车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行? (2)车上最终有大小沙袋共多少个? 解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时.由动量守恒定律知.车速要减小.可见.当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上.总有一时刻使车速反向或减小到零.如车能反向运动.则另一边的人还能将沙袋扔到车上.直到车速为零.则不能再扔.否则还能扔. 小车以初速沿正x轴方向运动.经过第1个(n=1)人的身旁时.此人将沙袋以的水平速度扔到车上.由动量守恒得当小车运动到第2人身旁时.此人将沙袋以速度的水平速度扔到车上.同理有.所以.当第n个沙袋抛上车后的车速为.根据动量守恒有. 同理有.若抛上(n+1)包沙袋后车反向运动.则应有 即 由此两式解得:为整数取3. 当车反向滑行时.根据上面同样推理可知.当向左运动到第n个人身旁.抛上第n包沙袋后由动量守恒定律有: 解得: 设抛上n+1个沙袋后车速反向.要求 即 即抛上第8个 沙袋后车就停止.所以车上最终有11个沙袋. 例9 如图6-6所示.一固定的斜面.倾角.斜面 长L=2.00米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为m的 质点.从斜面的最高点沿斜面下滑.初速度为零. 下滑到最底端 与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数.试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程. 解析 因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功.且每次做功又不相同.所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程.需一次一次的求.推出通式即可求解. 设每次开始下滑时.小球距档板为s 则由功能关系: 即有 由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列.其公比为 ∴在发生第11次碰撞过程中的路程 例10 如图6-7所示.一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌 面上.槽内嵌着三个大小相同的刚性小球.它们的质量分别是m1.m2 和m3.m2=m3=2m1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽 略不计. 开始时.三球处在槽中Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ的位置.彼此间距离相等. m2和m3静止.m1以初速沿槽运动.R为圆环的内半径和 小球半径之和.设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞.求此系统的运动周期T. 解析 当m1与m2发生弹性碰撞时.由于m2=2m1.所以m1碰后弹回.m2向前与m3发生碰撞. 而又由于m2=m3.所以m2与m3碰后.m3能静止在m1的位置.m1又以v速度被反弹.可见碰撞又重复一次. 当m1回到初始位置.则系统为一个周期. 以m1.m2为研究对象.当m1与m2发生弹性碰撞后.根据动量守恒定律.能量守恒定律可写出: ① ② 由①.②式得: 以m2.m3为研究对象.当m2与m3发生弹性碰撞后.得 以m3.m1为研究对象.当m3与m1发生弹性碰撞后.得 由此可见.当m1运动到m2处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使m1.m2.m3交换位置.当m1再次回到原来位置时.所用的时间恰好就是系统的一个周期T.由此可得周期 例11 有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着. 现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块.以后各木块依次被牵而运动.求第n个木块被牵动时的速度. 解析 每一个木块被拉动起来后.就和前面的木块成为一体.共同做匀加速运动一段距离L后.把绳拉紧.再牵动下一个木块. 在绳子绷紧时.有部分机械能转化为内能. 因此.如果列出这样的关系式是错误的. 设第个木块刚被拉动时的速度为.它即将拉动下一个木块时速度增至. 第n个木块刚被拉动时速度为. 对第个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程.由动能定理有: ① 对绳子把第n个木块拉动这一短暂过程.由动量守恒定律.有 得: ② 把②式代入①式得: 整理后得: ③ ③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式.由③式可知 当n=2时有: 当n=3时有: 当n=4时有: - 一般地有 将以上个等式相加.得: 所以有 在本题中.所以 例12 如图6-8所示.质量m=2kg的平板小车.后端放 有质量M=3kg的铁块.它和车之间动摩擦因数开始 时.车和铁块共同以的速度向右在光滑水平面上 前进.并使车与墙发生正碰.设碰撞时间极短.碰撞无机械能损失.且车身足够长.使得铁块总不能和墙相碰.求小车走过的总路程. 解析 小车与墙撞后.应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动.由于铁块和车的相互摩擦力作用.过一段时间后.它们就会相对静止.一起以相同的速度再向右运动.然后车与墙发生第二次碰撞.碰后.又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下去. 车每与墙碰一次.铁块就相对于车向前滑动一段距离.系统就有一部分机械能转化为内能.车每次与墙碰后.就左.右往返一次.车的总路程就是每次往返的路程之和. 设每次与墙碰后的速度分别为v1.v2.v3.-.vn.-车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s1.s2.s3.-.sn.-. 以铁块运动方向为正方向.在车与墙第次碰后到发生第n次碰撞之前.对车和铁块组成的系统.由动量守恒定律有 所以 由这一关系可得: 一般地.有 由运动学公式可求出车与墙发生第n次碰撞后向左运动的最远距离为 类似地.由这一关系可递推到: 所以车运动的总路程 因此 所以 例13 10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平 地面上.如图6-9所示.每个木块的质量长度 .它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端 上方放一个质量为M=1.0kg的小铅块.它与木块间的静摩 擦因数和动摩擦因数均为现突然给铅块一向右的初速度.使其在大木块上滑行. 试确定铅块最后的位置在何处(落在地上还是停在哪块木块上). 重力加速度g取.设铅块的长度与木块相比可以忽略. 解析 当铅块向右运动时.铅块与10个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力.若此摩擦力大于10个扁长木块与地面间的最大静摩擦力.则10个扁长木块开始运动.若此摩擦力小于10个扁长木块与地面间的最大摩擦力.则10个扁长木块先静止不动.随着铅块的运动.总有一个时刻扁长木块要运动.直到铅块与扁长木块相对静止.后又一起匀减速运动到停止. 铅块M在木块上滑行所受到的滑动摩擦力 设M可以带动木块的数目为n.则n满足: 即 上式中的n只能取整数.所以n只能取2.也就是当M滑行到倒数第二个木块时.剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8个木块时速度为v.则 得: 由此可见木块还可以滑到第9个木块上. M在第9个木块 上运动如图6-9甲所示.则对M而言有: 得: 第9及第10个木块的动力学方程为:. 得: 设M刚离开第9个木块上时速度为.而第10个木块运动的速度为.并设木块运动的距离为s.则M运动的距离为.有: 消去s及t求出:.显然后一解不合理应舍去. 因.故M将运动到第10个木块上. 再设M运动到第10个木块的边缘时速度为.这时木块的速度为.则: 解得:.故M不能滑离第10个木块.只能停在它的表面上.最后和木块一起静止在地面上. 例14 如图6-10所示.质量为m的长方形箱子.放在光滑 的水平地面上. 箱内有一质量也为m的小滑块.滑块与箱底间无摩 擦. 开始时箱子静止不动.滑块以恒定的速度v0从箱子的A壁处向 B处运动.后与B壁碰撞. 假设滑块与箱壁每碰撞一次.两者相对 速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍. (1)要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的40%.滑块与箱壁最多可碰撞几次? (2)从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间.箱子的平均速度是多少? 解析 由于滑块与箱子在水平方向不受外力.故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比.可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度.应等于这期间运动的总位移与总时间的比值. (1)滑块与箱壁碰撞.碰后滑块对地速度为v.箱子对地速度为u. 由于题中每次碰撞的e是一样的.故有: 或 即碰撞n次后 ① 碰撞第n次的动量守恒式是 ② ①.②联立得 第n次碰撞后.系统损失的动能 下面分别讨论: 当 因为要求的动能损失不超过40%.故n=4. (2)设A.B两侧壁的距离为L.则滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间 . 在下一次发生碰撞的时间.共碰撞四次.另两次碰撞的时间分别为..所以总时间 在这段时间中.箱子运动的距离是: 所以平均速度为: 例15 一容积为1/4升的抽气机.每分钟可完成8次抽气动作. 一容积为1升的容器与此抽气筒相连通. 求抽气机工作多长时间才能使容器内的气体的压强由76mmmHg降为1.9mmHg.(在抽气过程中容器内的温度保持不变) 解析 根据玻一马定律.找出每抽气一次压强与容器容积和抽气机容积及原压强的关系.然后归纳递推出抽n次的压强表达式. 设气体原压强为p0.抽气机的容积为V0.容器的容积为V. 每抽一次压强分别为p1.p2.-.则由玻一马定律得: 第一次抽气后: ① 第二次抽气后: ② 依次递推有: ③ n 由以上n式得: 代入已知得:(次) 工作时间为:分钟 例16 使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触.分开之后.小球获得电量q. 今让小球与大球反复接触.在每次分开有后.都给大球补充电荷.使其带电量恢复到原来的值Q. 求小球可能获得的最大电量. 解析 两个孤立导体相互接触.相当于两个对地电容并联.设两个导体球带电Q1.Q2.由于两个导体球对地电压相等. 故有. 所以为常量.此式表明:带电的小球跟带电大球接触后.小球所获得的电量与总电量的比值不变.比值k等于第一次带电量q与总电量Q的比值.即根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量. 设第1.2.-.n次接触后小球所带的电量分别为q1.q2.-.有: 由于.上式为无穷递减等比数列.根据求和公式得: 即小球与大球多次接触后.获得的最大电量为 例17 在如图6-11所示的电路中.S是一单刀双掷开关.A1和A2为两个平行板电容器.S掷向a时.A1获电荷电量为Q.当S再掷向b时.A2获电荷电量为q. 问经过很多次S掷向a.再掷向b后.A2将获得多少电量? 解析 S掷向a时.电源给A1充电.S再掷向b.A1给A2充电.在经过很多次重复的过程中.A2的带电量越来越多.两板间电压越来越大. 当A2的电压等于电源电压时.A2的带电量将不再增加. 由此可知A2最终将获得电量q2=C2E. 因为 所以 当S由a第一次掷向b时.有: 所以 解得A2最终获得的电量 例18 电路如图6-12所示.求当为何值时. RAB的阻值与“网络 的“格 数无关?此时RAB的阻 值等于什么? 解析 要使RAB的阻值与“网络 的“格 数无关.则图中CD间的阻值必须等于才行. 所以有 解得 此时AB间总电阻 例19 如图6-13所示.在x轴上方有垂直于xy平面向里 的匀强磁场.磁感应强度为B.在x轴下方有沿y轴负方向的匀 强电场.场强为E. 一质量为m.电量为-q的粒子从坐标原点O 沿着y轴方向射出. 射出之后.第三次到达x轴时.它与O点的 距离为L. 求此粒子射出时的速度v和每次到达x轴时运动的总 路程s. 解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动.经半周后通过x 轴进入电场后做匀减速直线运动.速度减为零后.又反向匀加 速通过x轴进入磁场后又做匀速圆周运动.所以运动有周期性. 它第3次到达x轴时距O点的距离L等于圆半径的4倍(如图 6-13甲所示) 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 所以粒子射出时的速度 粒子做圆周运动的半周长为 粒子以速度v进入电场后做匀减速直线运动.能深入的最大距离为y. 因为 所以粒子在电场中进入一次通过的路程为 粒子第1次到达x轴时通过的路程为 粒子第2次到达x轴时.已通过的路程为 粒子第3次到达x轴时.已通过的路程为 粒子第4次到达x轴时.已通过的路程为 粒子第次到达x轴时.已通过的路程为 粒子第2n次到达x轴时.已通过的路程为 上面n都取正整数. 【
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