与是互素的合数．(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．) 证我们用表示有限数集X中元素的算术平均．第一步.我们证明.正整数的n元集合具有下述性质:对的任意两个不同的非空子集A——青夏教育精英家教网—

与是互素的合数．(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．) 证我们用表示有限数集X中元素的算术平均．第一步.我们证明.正整数的n元集合具有下述性质:对的任意两个不同的非空子集A.B.有．证明:对任意..设正整数k满足 . ① 并设l是使的最小正整数．我们首先证明必有．事实上.设是A中最大的数.则由.易知A中至多有个元素.即.故．又由的定义知.故由①知．特别地有．此外.显然.故由l的定义可知．于是我们有．若.则,否则有.则．由于是A中最大元.故上式表明．结合即知．现在.若有的两个不同的非空子集A.B.使得.则由上述证明知.故.但这等式两边分别是A.B的元素和.利用易知必须A=B.矛盾．第二步.设K是一个固定的正整数..我们证明.对任何正整数x.正整数的n元集合具有下述性质:对的任意两个不同的非空子集A.B.数与是两个互素的整数．事实上.由的定义易知.有的两个子集.满足..且． ② 显然及都是整数.故由上式知与都是正整数．现在设正整数d是与的一个公约数.则是d的倍数.故由②可知.但由K的选取及的构作可知.是小于K的非零整数.故它是的约数.从而．再结合及②可知d=1.故与互素．第三步.我们证明.可选择正整数x.使得中的数都是合数．由于素数有无穷多个.故可选择n个互不相同且均大于K的素数．将中元素记为.则.且(对).故由中国剩余定理可知.同余方程组 . 有正整数解．任取这样一个解x.则相应的集合中每一项显然都是合数．结合第二步的结果.这一n元集合满足问题的全部要求．【查看更多】

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给定整数，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数