查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

（本小题满分12分）
如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱
被平面所截而得． ，为的中点．
（Ⅰ）当时，求平面与平面的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当为何值时，在棱上存在点，使平面？

查看答案和解析>>

一、           选择题：

1、答案：D

解：②表示垂直于同一平面的两条直线互相平行；

③表示垂直于同一直线的两个平面互相平行；

2、答案：D ；

解：，非P真；又真，所以选D；

3、答案：B ；

解：本题考查了正方体堆垒问题及数列通项公式的求解.列出该数列的前几项,通过相邻项间的关系可得出该数列的规律而得出一等差数列.

由图示可得,该正方体的个数所组成的数列1,3,6,…, 其后一项减前一项得一数列2,3,4,…为一个等差数列.由此可得第6层的正方体的个数为1,3,6,10,15,21,… ,

故应选B.

4、答案：D ；

解：的图象向右平移单位后得到：，故选D；

5、答案：B ；

解：据题意可知集合A表示函数的定义域，，易化简得，由于BA，故当时，即时易知符合题意；当时，，要使BA，结合数轴知需或（经验证符合题意）或（经验证不合题意舍去），解得，故综上所述可知满足条件的的取值范围是，故答案为B；

6、答案：D ；

解：由图象变换可以得到两个图象间的关系，函数是由函数的图象向右平移一个单位得到，而是由函数的图象关于y轴对称得到再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线对称。故选D

7、答案：B ；

解：两直线平行,则其斜率相等,利用两点间直线的斜率公式可以得两字母间的关系,于是可得两点间的距离.

由题意得

所以故应选B.

8、答案：B ；

解：由于，故函数的定义域为，根据已知0<a<b<c，则易将函数解析式化简为= ，故且其定义域关于原点对称，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称。故应选B.

9、答案：C ；

解：本题考查直线的斜率,由垂直关系得两直线的斜率之积为,再由均值不等式转化转化得出不等关系式，分类讨论得出的最小值.由题意,

∵两直线互相垂直,

∴,即,

∴,则.

当时,;当时,.

综合得的最小值为. 故应选C.

10、答案：C ；

解：由题意可知，存在，使，即，从函数定义出发，画出映射帮助思考，从A到B再到C是由题意可得，如果继续对C集合中的，应用法则，则会得到，从B到C再到D的映射为，即存在，使，即函数过点，即方程有解，易知在实数集R上无解故选D。

二、           填空题：

11、答案：1 ；

解：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又烦琐．这时若能发现0这个特殊元素，和中的a不为0的隐含信息，就能得到如下解法.由已知得＝0，及a≠0，所以b＝0，于是a²＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性a＝1应舍去，因而a＝－1，故a²⁰⁰⁸＋b²⁰⁰⁸＝(-1) ²⁰⁰⁸＝1．

12、答案：120度；

解：依题意可知：A、O、B、C构成平形四边形，，故的内角C为120度；

13、答案：；

解：

.

14、答案： ；

解：，设，依题意可知：，又P在曲线上，故，故点P的坐标为 ；

15、答案：49 ；

解：本题考查用取特殊值法进行验证.由题意分析,

不妨设各个格中的数都为1, 则符合题意要求,所以表中所有数字之和为49.

三、            解答题：

16、 解:（１）因为              

，   

所以．          

（２）由即，

亦即．

故，

当且仅当时取得等号．

又．

故当时有有最大值．  

17、 解:(Ⅰ)从九个小球中任取三个共有种取法，它们是等可能的.设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A，

则.

(Ⅱ)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B，

则 .

（Ⅲ）设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C，设集合, ,则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有种，则.

18、解：设椭圆方程为

（Ⅰ）易得所求椭圆方程为.

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，解得

又由韦达定理得原点到直线的距离.

对两边平方整理得：（*）∵，

整理得： 又，      从而的最大值为，此时代入方程（*）得  

所以，所求直线方程为：.

19、（Ⅰ）解：（1）3－k²>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；

（2） 1－k>3－k²>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；

（3）1－k=3－k²>0k=－1，表示的是一个圆；

（4）（1－k）（3－k²）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；

（5）k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.

（Ⅱ）解：依题意，设双曲线的方程为－=1（a>0，b>0）.∵e==，c²=a²+b²，∴a²=4b².

设M（x，y）为双曲线上任一点，则|PM|²=x²+（y－5）²=b²（－1）+（y－5）²=（y－4）²+5－b²（|y|≥2b）.

①若4≥2b，则当y=4时，|PM|_min²=5－b²=4，得b²=1，a²=4.从而所求双曲线方程为－x²=1.

②若4<2b，则当y=2b时，|PM|_min²=4b²－20b+25=4，得b=（舍去b=），b²=，a²=49.

从而所求双曲线方程为－=1.

20、解：如图，连结，由为中点，则从而.故AM和所成的角为所成的角，易证≌。所以，故所成的角为。又设AB的中点为Q，则又从而CN与AM所成的角就是（或其补角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角为。

21、解  （1）当a=1,b=?2时，f(x)=x²?x?3，

由题意可知x=x²?x?3，得x₁=?1,x₂=3 

故当a=1,b=?2时，f(x)的两个不动点为?1,3 

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有两个不动点，

∴x=ax²+(b+1)x+(b?1)，

即ax²+bx+(b?1)=0恒有两相异实根

∴Δ=b²?4ab+4a＞0(b∈R)恒成立 

于是Δ′=(4a)²?16a＜0解得0＜a＜1

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1 

（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x₁,x₁),B(x₂,x₂)

又∵A、B关于y=kx+对称 

∴k=?1  设AB的中点为M(x′,y′)

∵x₁,x₂是方程ax²+bx+(b?1)=0的两个根 

∴x′=y′=，

又点M在直线上有，

即

∵a＞0，∴2a+≥2当且仅当2a=即a=∈(0,1)时取等号，

故b≥?，得b的最小值? 

作者：     湖南省衡阳市祁东县育贤中学  高明生  彭铁军

PC：       421600

TEL：      0734---6184532

Cellphone: 13187168216

E―mail:   hunanqidonggms@163.com

QQ:        296315069