如图1，矩形ABCD中，AB=，BC=2，Q为AD的中点，将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，记A、D重合的点为P，如图2。

（1）求二面角B-PQ-C的大小；
（2）证明：PQ⊥BC；
（3）求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小。

查看答案和解析>>

一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．
（1）判断与操作：
如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：
已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：
已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．

查看答案和解析>>

如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使面ABE⊥平面BCD（如图2）．
（Ⅰ）若M为AC的中点，证明：DM∥面ABE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

查看答案和解析>>

如图1，矩形ABCD中，AB=2AD=2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图2．

（1）求四棱锥D-ABCE的体积；
（2）求证：AD⊥平面BDE．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

选项

C

A

C

B

D

B

B

A

二、填空题（共7小题，计30分。其中第9、10、11、12小题必做；第13、14、15题选做两题，若3题全做，按前两题得分计算。）

9、 4   ．10、__10__（用数字作答）．11、__＿＿。12、___0___。

13、      ；14、___8_____．15、   3   。

三、解答题（考生若有不同解法，请酌情给分！）

16.解：（1）…………2分

……………………………………3分

………………………………………………5分

（2）…………………………7分

…………………………………9分

………………………………………10分

故

∴当………………………………12分

17．解：⑴、记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．……………………4分

⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，

那么，…………………………………………………………6分

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．………8分

⑶、随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则

．所以，

的分布列是：…………………………………………………………………… 10分

1

2

    ∴…………………………………………………………12分

18．

解：设2008年末汽车保有量为a₁万辆，以后各年末汽车保有量依次为a₂万辆，a₃万辆，…，每年新增汽车x万辆。………………………………………………………………1分

a₁＝30，a₂＝a₁×0.94＋x，a₃＝a₂×0.94＋x＝a₁×0.94²＋x×0.94＋x，…

故a_n＝a₁×0.94^n-1＋x（1＋0．94＋…＋0．94^n-2）

．………………………………………………6分

(1):当x=3万辆时，a_n≤30

　则每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求。……………9分

　 (2):如果要求汽车保有量不超过60万辆，即a_n≤60（n＝1，2，3，…）

则，

即．

对于任意正整数n，

因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，x≤3．6（万辆）．………………13分

答：若每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求；每年新增汽车不应超过3．6万辆，则汽车保有量定能达到要求。………………………………………14分

19．解：（1）…………………………………………………………2分

由己知有实数解，∴，故…………………5分

（2）由题意是方程的一个根，设另一根为

则，∴……………………………………………………7分

∴，

当时，；当时，；

当时，

∴当时，有极大值，又，，

即当时，的量大值为  ………………………10分

∵对时，恒成立，∴，

∴或………………………………………………………………13分

故的取值范围是  ………………………………………14分

20．解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，

∴MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴AC=BF=，  .

即CP=BQ=.

∴MN=PQ=

（0＜a＜）.…………………………………5分

（2）由（Ⅰ），MN=，所以，当a=时，MN=.

即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.………8分

（3）取MN的中点G，连结AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点

∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，………………………11分

又AG=BG=，所以，由余弦定理有cosα=.

故所求二面角的余弦值为－.………………………………………………………14分

（注：本题也可用空间向量，解答过程略）

21．解：⑴、对任意的正数均有且．

又

，…………………………………………………4分

又是定义在上的单增函数，．

当时，，．，．

当时，，

．，

为等差数列，，． ……………………………6分

⑵、假设存在满足条件，即

对一切恒成立．

令，

，………………………10分

故，………………………12分

，单调递增，，．

．……………………………………………………………14分

（考生若有不同解法，请酌情给分！）