3.直线与平面所成的角要“抓住 直线在平面内的射影.然后在直角三角形内求得,直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值.线面角的范围:[00.900]. [举例1] 在如图3-1所示的几何体中.平面. 平面..且.是的中点.求与平面所成的角. 解析:方法一:“找射影 .过M作MF⊥ED于F.连CF. 由CM⊥AB.CM⊥AE得CM⊥面ABDE.故CM⊥ED. ∴ED⊥面CMF.于是有面CED⊥面CMF于CF.过M作MH⊥CF 于H.则MH⊥面CED.∴∠MCH为与平面所成的角, 设.. 在直角梯形中. .是的中点. 所以... 得是直角三角形.其中.∴MF= 在中.CM=MF.∴ .故与平面所成的角是. 注:“作垂面 是求作点M在面内的射影的最重要.最常用的方法.其过程是:过M点作平面⊥于.则M在面内的射影M/∈. 方法二:“建系 .如图.以点为坐标原点.以. 分别为轴和轴.过点作与平面垂直的直线为 轴.建立直角坐标系.设.则. .... 设向量与平面垂直. 则..即n·=0 , n·=0,∵.. 得:..即.由向量夹角公式得:cos< n,>=, 直线与平面所成的角是与夹角的余角.所以. 故直线与平面所成的角是. 注:线与面的法向量所成的角与线面角互余,注意到线面角不为钝角.故:AB与面所成的角为:arcsin(为面的法向量).用法向量求线面角.以计算代替说理.最大限度地实现了“去逻辑化 .为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径,但是.并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系. [举例2]如图3-1.在四棱锥P-ABCD中.底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD.且PA=AD=AB=2BC,M.N分别为PC.PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的角. 解析:确定C点在面ADMN上的射影Q的位置很困难.方法一:“射影悬空 .先不管Q点的位置.∠CDQ为CD与平面ADMN所成的角.入图3-2,记BC=a,在Rt⊿CQD中.CD=a,只需求出CQ即可.记为h,注意到.不难知道 ⊿AMD中AD边上的高为AN.AN=a,∴=a2,=2a2.M到面ACD的距离为a. ∴h=a,故在Rt⊿CQD中.∠CDQ= arcsin.注:射影“悬空 求线面角的“革命 性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步--确定射影的位置.把问题化归为求点到面的距离,而求点到面的距离可以通过“等积转换 实现.并不需要知道射影的确切位置. 方法二:“平移 线段.取AD中点E.连BE.如图3-3.易见:BE∥CD.∴CD与平面ADMN所成的角即BE 与平面ADMN所成的角,不难证明:BN⊥AN.BN⊥AC.∴BN⊥面ADMN.即点B在面ADMN上的射影为N.∠BEN为BE 与平面ADMN所成的角,记BC=a.BN=a.BE=a.在Rt⊿BNE中.∠BEN=arcsin.本题也可以“建系 求.略. [巩固1]太阳光线斜照地面.地面上与太阳光线成600角的直线有 条?若太阳光线与地面成60°角时.要使一根长2米的竹竿影子最长.则竹竿与地面所成的角为 . [巩固2] 在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.AB=BC.PA=2BC.点O是AC的中点.OP⊥底面ABC.求直线PA与平面PBC所成角的大小. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

如图,在四棱柱中,侧棱

(1)求证:

(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值;

(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)

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如图所示,设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足为B、D.现要增加一个条件,就能推出BD⊥EF.现有:①AC⊥β;②AC与α、β所成角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是________.

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如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为蓌形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点。 

(Ⅰ)求证:AE⊥PD;

(Ⅱ)若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为,求二面角E-AF-C的余弦值.

【解析】(Ⅰ)要证AE⊥PD ,先证AE⊥平面PAD,需要证明PA⊥AE,转化为证PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)建立坐标系计算二面角E-AF-C的余弦值.

 

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如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).

(1)求证:CD⊥平面ADD1A1

(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为,求k的值;

(3)现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)

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