在数列{a_n}中，a₁=1，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成首项为2且公比为q（q＞0）的等比数列．
（1）当q=1时，证明数列{a_n}是等差数列；
（2）若q=2，求数列{na_n}的前n项和S_n；
（3）令bn=

an+1

an

，若对任意n∈N^*，都有b_n+1＜b_n，求q的取值范围．

数列{a_n}是公差为d（d＞0）的等差数列，且a₂是a₁与a₄的等比中项，设S_n=a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1（n∈N^*）．
（1）求证：

Sn

+

Sn+2

=2

Sn+1

；
（2）若d=

1

4

，令b_n=

Sn

2n-1

，{b_n}的前n项和为T_n，是否存在整数P、Q，使得对任意n∈N^*，都有P＜T_n＜Q，若存在，求出P的最大值及Q的最小值；若不存在，请说明理由．

对于数列{a_n}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列．
（1）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求证：数列{a_n}是以6为周期的周期数列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}满足a1=p∈[0， 

1

2

)，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，试判断{a_n}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{a_n}，又设数列{b_n}，其中bn=an+2n+

2009

2n

，问是否存在最小的自然数n（n∈N^*），使得对一切自然数m≥n，都有b_m＞2009？请说明理由．