题目列表(包括答案和解析)
如图,在四棱锥中,
⊥底面
,底面
为正方形,
,
,
分别是
,
的中点.
(I)求证:平面
;
(II)求证:;
(III)设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.
【解析】第一问利用线面平行的判定定理,,得到
第二问中,利用,所以
又因为,
,从而得
第三问中,借助于等体积法来求解三棱锥B-EFC的体积.
(Ⅰ)证明: 分别是
的中点,
,
. …4分
(Ⅱ)证明:四边形
为正方形,
.
,
.
,
,
.
,
. ………8分
(Ⅲ)解:连接AC,DB相交于O,连接OF, 则OF⊥面ABCD,
∴
如图所示的长方体中,底面
是边长为
的正方形,
为
与
的交点,
,
是线段
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又
平面
,
平面
,∴
平面
由
,
,又
,∴
平面
.
可得证明
(3)因为∴为面
的法向量.∵
,
,
∴为平面
的法向量.∴利用法向量的夹角公式,
,
∴与
的夹角为
,即二面角
的大小为
.
方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点
、
,
∴,又点
,
,∴
∴,且
与
不共线,∴
.
又平面
,
平面
,∴
平面
.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,
,即
,
,
又,∴
平面
. ………8分
(Ⅲ)∵,
,∴
平面
,
∴为面
的法向量.∵
,
,
∴为平面
的法向量.∴
,
∴与
的夹角为
,即二面角
的大小为
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,
是⊙O的直径,弦
、
的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:
(1);
(2).
B.选修4-2:矩阵与变换
求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中
,
.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为
,又直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长.
D.选修4-5:不等式选讲
若存在实数使
成立,求常数
的取值范围.
设点是抛物线
的焦点,
是抛物线
上的
个不同的点(
).
(1) 当时,试写出抛物线
上的三个定点
、
、
的坐标,从而使得
;
(2)当时,若
,
求证:;
(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:
“若,则
.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);
② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
【解析】第一问利用抛物线的焦点为
,设
,
分别过作抛物线
的准线
的垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得到
第二问设,分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得
第三问中①取时,抛物线
的焦点为
,
设,
分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
,
则,不妨取
;
;
;
解:(1)抛物线的焦点为
,设
,
分别过作抛物线
的准线
的垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
因为,所以
,
故可取满足条件.
(2)设,分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得
又因为
;
所以.
(3) ①取时,抛物线
的焦点为
,
设,
分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
,
则,不妨取
;
;
;
,
则,
.
故,
,
,
是一个当
时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设,分别过
作
抛物线的准线
的垂线,垂足分别为
,
由及抛物线的定义得
,即
.
因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这
点都取在
轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则
,
而,所以
.
(说明:本质上只需构造满足条件且的一组
个不同的点,均为反例.)
③ 补充条件1:“点的纵坐标
(
)满足
”,即:
“当时,若
,且点
的纵坐标
(
)满足
,则
”.此命题为真.事实上,设
,
分别过作抛物线
准线
的垂线,垂足分别为
,由
,
及抛物线的定义得,即
,则
,
又由,所以
,故命题为真.
补充条件2:“点与点
为偶数,
关于
轴对称”,即:
“当时,若
,且点
与点
为偶数,
关于
轴对称,则
”.此命题为真.(证略)
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